Álgebra Ejemplos

$z^{2} - \frac{3}{4} z = - 80$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Combina $z$ y $\frac{3}{4}$ .

$z^{2} - \frac{z \cdot 3}{4} = - 80$

Paso 1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $z$ .

$z^{2} - \frac{3 z}{4} = - 80$

Paso 2

Suma $80$ a ambos lados de la ecuación.

$z^{2} - \frac{3 z}{4} + 80 = 0$

Paso 3

Multiplica por el mínimo común denominador $4$ , luego simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 z^{2} + 4 (- \frac{3 z}{4}) + 4 \cdot 80 = 0$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 z}{4}$ al numerador.

$4 z^{2} + 4 (\frac{- 3 z}{4}) + 4 \cdot 80 = 0$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común.

$4 z^{2} + 4 (\frac{- 3 z}{4}) + 4 \cdot 80 = 0$

Paso 3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$4 z^{2} - 3 z + 4 \cdot 80 = 0$

Paso 3.2.2

Multiplica $4$ por $80$ .

$4 z^{2} - 3 z + 320 = 0$

Paso 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = - 3$ y $c = 320$ en la fórmula cuadrática y resuelve $z$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 320)}}{2 \cdot 4}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 320}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 320$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 320}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $320$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 5120}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.3

Resta $5120$ de $9$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{- 5111}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.4

Reescribe $- 5111$ como $- 1 (5111)$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 5111}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (5111)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5111}$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5111}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \frac{3 \pm i \sqrt{5111}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$z = \frac{3 \pm i \sqrt{5111}}{8}$

Paso 7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$z = \frac{3 + i \sqrt{5111}}{8}, \frac{3 - i \sqrt{5111}}{8}$