Álgebra Ejemplos

$\sqrt{3} \tan (x) \cot (x) + \sqrt{3} \tan (x) - \cot (x) - 1 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\sqrt{3} \tan (x) \cot (x) + \sqrt{3} \tan (x) - \cot (x) - 1 = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\sqrt{3} \tan (x) (\cot (x) + 1) - (\cot (x) + 1) = 0$

Paso 1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $\cot (x) + 1$ .

$(\cot (x) + 1) (\sqrt{3} \tan (x) - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

$\sqrt{3} \tan (x) - 1 = 0$

Paso 3

Establece $\cot (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $\cot (x) + 1$ igual a $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $\cot (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cot (x) = - 1$

Paso 3.2.2

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (- 1)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

El valor exacto de $arccot (- 1)$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 3.2.4

La cotangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 3.2.5.1

Suma $2 π$ a $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Paso 3.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{4}$ es positivo y coterminal con $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Paso 3.2.6

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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Paso 3.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 3.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 3.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 3.2.6.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 3.2.7

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Establece $\sqrt{3} \tan (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\sqrt{3} \tan (x) - 1$ igual a $0$ .

$\sqrt{3} \tan (x) - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\sqrt{3} \tan (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3} \tan (x) = 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $\sqrt{3} \tan (x) = 1$ por $\sqrt{3}$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $\sqrt{3} \tan (x) = 1$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{3}$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.2.2.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.2.2.3.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 4.2.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 4.2.2.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 4.2.2.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.2.2.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.2.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.2.2.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.2.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.2.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.2.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 4.2.2.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.3

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.4.1

El valor exacto de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 4.2.5

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{6}$

Paso 4.2.6

Simplifica $π + \frac{π}{6}$ .

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Paso 4.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Paso 4.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Paso 4.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Paso 4.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.6.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Paso 4.2.6.3.2

Suma $6 π$ y $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 4.2.7

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 4.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 4.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 4.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 4.2.7.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 4.2.8

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\cot (x) + 1) (\sqrt{3} \tan (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$