Álgebra Ejemplos

$y = - \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{3} x)$

Paso 1

Usa la forma $a \cos (b x - c) + d$ para obtener las variables utilizadas para obtener la amplitud, el período, el desfase y el desplazamiento vertical.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = \frac{π}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Paso 2

Obtén la amplitud $| a |$ .

Amplitud: $\frac{1}{2}$

Paso 3

Obtén el período de $- \frac{\cos (\frac{π x}{3})}{2}$ .

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Paso 3.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2

Reemplaza $b$ con $\frac{π}{3}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{3} |}$

Paso 3.3

$\frac{π}{3}$ es aproximadamente $1.04719755$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{3}{π}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Paso 3.5.3

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 3$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$6$

Paso 4

Obtén el desfase con la fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Paso 4.1

El desfase de la función puede calcularse a partir de $\frac{c}{b}$ .

Desfase: $\frac{c}{b}$

Paso 4.2

Reemplaza los valores de $c$ y $b$ en la ecuación para el desfase.

Desfase: $\frac{0}{\frac{π}{3}}$

Paso 4.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

Desfase: $0 (\frac{3}{π})$

Paso 4.4

Multiplica $0$ por $\frac{3}{π}$ .

Desfase: $0$

Paso 5

Enumera las propiedades de la función trigonométrica.

Amplitud: $\frac{1}{2}$

Período: $6$

Desfase: ninguno

Desplazamiento vertical: ninguno

Paso 6

Selecciona algunos puntos para la gráfica.

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Paso 6.1

Obtén el punto en $x = 0$ .

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Paso 6.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{π (0)}{3})}{2}$

Paso 6.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 6.1.2.1.1

Factoriza $3$ de $π (0)$ .

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{3 (π \cdot (0))}{3})}{2}$

Paso 6.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{3 (π \cdot (0))}{3 (1)})}{2}$

Paso 6.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{3 (π \cdot (0))}{3 \cdot 1})}{2}$

Paso 6.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{π \cdot (0)}{1})}{2}$

Paso 6.1.2.1.2.4

Divide $π \cdot (0)$ por $1$ .

$f (0) = - \frac{\cos (π \cdot (0))}{2}$

Paso 6.1.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.2.2.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$f (0) = - \frac{\cos (0)}{2}$

Paso 6.1.2.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = - \frac{1}{2}$

Paso 6.1.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 6.2

Obtén el punto en $x = \frac{3}{2}$ .

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Paso 6.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{\cos (\frac{π (\frac{3}{2})}{3})}{2}$

Paso 6.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{\cos (\frac{\frac{π \cdot 3}{2}}{3})}{2}$

Paso 6.2.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{\cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{2}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{2}$

Paso 6.2.2.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 π$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{2}$

Paso 6.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{2}$

Paso 6.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}$

Paso 6.2.2.3.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{0}{2}$

Paso 6.2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.4.1

Divide $0$ por $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = - 0$

Paso 6.2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = 0$

Paso 6.2.2.5

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 6.3

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Paso 6.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = - \frac{\cos (\frac{π (3)}{3})}{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$f (3) = - \frac{\cos (\frac{π \cdot 3}{3})}{2}$

Paso 6.3.2.1.2

Divide $π$ por $1$ .

$f (3) = - \frac{\cos (π)}{2}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.2.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$f (3) = - \frac{- \cos (0)}{2}$

Paso 6.3.2.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (3) = - \frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Paso 6.3.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (3) = - \frac{- 1}{2}$

Paso 6.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (3) = \frac{1}{2}$

Paso 6.3.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6.4

Obtén el punto en $x = \frac{9}{2}$ .

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Paso 6.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{9}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{π (\frac{9}{2})}{3})}{2}$

Paso 6.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{9}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{\frac{π \cdot 9}{2}}{3})}{2}$

Paso 6.4.2.2

Mueve $9$ a la izquierda de $π$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{2}$

Paso 6.4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{2}$

Paso 6.4.2.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $9 π$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{2}$

Paso 6.4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{2}$

Paso 6.4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{2}$

Paso 6.4.2.3.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}$

Paso 6.4.2.3.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{0}{2}$

Paso 6.4.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 6.4.2.4.1

Divide $0$ por $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = - 0$

Paso 6.4.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (\frac{9}{2}) = 0$

Paso 6.4.2.5

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 6.5

Obtén el punto en $x = 6$ .

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Paso 6.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = - \frac{\cos (\frac{π (6)}{3})}{2}$

Paso 6.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.5.2.1

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 6.5.2.1.1

Factoriza $3$ de $π (6)$ .

$f (6) = - \frac{\cos (\frac{3 (π \cdot (2))}{3})}{2}$

Paso 6.5.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (6) = - \frac{\cos (\frac{3 (π \cdot (2))}{3 (1)})}{2}$

Paso 6.5.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (6) = - \frac{\cos (\frac{3 (π \cdot (2))}{3 \cdot 1})}{2}$

Paso 6.5.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (6) = - \frac{\cos (\frac{π \cdot (2)}{1})}{2}$

Paso 6.5.2.1.2.4

Divide $π \cdot (2)$ por $1$ .

$f (6) = - \frac{\cos (π \cdot (2))}{2}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.2.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$f (6) = - \frac{\cos (2 \cdot π)}{2}$

Paso 6.5.2.2.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (6) = - \frac{\cos (0)}{2}$

Paso 6.5.2.2.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (6) = - \frac{1}{2}$

Paso 6.5.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 6.6

Enumera los puntos en una tabla.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & 0 \\ 3 & \frac{1}{2} \\ \frac{9}{2} & 0 \\ 6 & - \frac{1}{2} \end{array}$

Paso 7

La función trigonométrica puede representarse de forma gráfica con la amplitud, el período, el desfase, el desplazamiento vertical y los puntos.

Amplitud: $\frac{1}{2}$

Período: $6$

Desfase: ninguno

Desplazamiento vertical: ninguno

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & 0 \\ 3 & \frac{1}{2} \\ \frac{9}{2} & 0 \\ 6 & - \frac{1}{2} \end{array}$

Paso 8