Álgebra Ejemplos

$| x - \frac{1}{2} | < 5$

Paso 1

Escribe $| x - \frac{1}{2} | < 5$ como una función definida por partes.

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Paso 1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x - \frac{1}{2} \geq 0$

Paso 1.2

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq \frac{1}{2}$

Paso 1.3

En la parte donde $x - \frac{1}{2}$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x - \frac{1}{2} < 5$

Paso 1.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x - \frac{1}{2} < 0$

Paso 1.5

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la desigualdad.

$x < \frac{1}{2}$

Paso 1.6

En la parte donde $x - \frac{1}{2}$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- (x - \frac{1}{2}) < 5$

Paso 1.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x - \frac{1}{2} < 5 & x \geq \frac{1}{2} \\ - (x - \frac{1}{2}) < 5 & x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Paso 1.8

Simplifica $- (x - \frac{1}{2}) < 5$ .

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Paso 1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} x - \frac{1}{2} < 5 & x \geq \frac{1}{2} \\ - x - - \frac{1}{2} < 5 & x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Paso 1.8.2

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.8.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

${\begin{cases} x - \frac{1}{2} < 5 & x \geq \frac{1}{2} \\ - x + 1 (\frac{1}{2}) < 5 & x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Paso 1.8.2.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

${\begin{cases} x - \frac{1}{2} < 5 & x \geq \frac{1}{2} \\ - x + \frac{1}{2} < 5 & x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Paso 2

Resuelve $x - \frac{1}{2} < 5$ cuando $x \geq \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 2.1.1

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la desigualdad.

$x < 5 + \frac{1}{2}$

Paso 2.1.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x < 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 2.1.3

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$x < \frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x < \frac{5 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.5.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$x < \frac{10 + 1}{2}$

Paso 2.1.5.2

Suma $10$ y $1$ .

$x < \frac{11}{2}$

Paso 2.2

Obtén la intersección de $x < \frac{11}{2}$ y $x \geq \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \leq x < \frac{11}{2}$

Paso 3

Resuelve $- x + \frac{1}{2} < 5$ cuando $x < \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.1

Resuelve $- x + \frac{1}{2} < 5$ en $x$ .

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Paso 3.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 3.1.1.1

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x < 5 - \frac{1}{2}$

Paso 3.1.1.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- x < 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.1.1.3

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$- x < \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- x < \frac{5 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 3.1.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1.5.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$- x < \frac{10 - 1}{2}$

Paso 3.1.1.5.2

Resta $1$ de $10$ .

$- x < \frac{9}{2}$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $- x < \frac{9}{2}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término de $- x < \frac{9}{2}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{9}{2}}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{9}{2}}{- 1}$

Paso 3.1.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{\frac{9}{2}}{- 1}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{9}{2}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \frac{9}{2}$

Paso 3.1.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{9}{2}$ como $- \frac{9}{2}$ .

$x > - \frac{9}{2}$

Paso 3.2

Obtén la intersección de $x > - \frac{9}{2}$ y $x < \frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{2} < x < \frac{1}{2}$

Paso 4

Obtén la unión de las soluciones.

$- \frac{9}{2} < x < \frac{11}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{9}{2} < x < \frac{11}{2}$

Notación de intervalo:

$(- \frac{9}{2}, \frac{11}{2})$

Paso 6