Álgebra Ejemplos

$x^{4} - 11 x^{2} = 80$

Paso 1

Resta $80$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} - 11 x^{2} - 80 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} - 80 = 0$

Paso 2.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$u^{2} - 11 u - 80 = 0$

Paso 2.3

Factoriza $u^{2} - 11 u - 80$ con el método AC.

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Paso 2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 80$ y cuya suma es $- 11$ .

$- 16, 5$

Paso 2.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 16) (u + 5) = 0$

Paso 2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x^{2} - 16) (x^{2} + 5) = 0$

Paso 2.5

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 5) = 0$

Paso 2.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 5) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

Paso 4

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 4.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 6

Establece $x^{2} + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x^{2} + 5$ igual a $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x^{2} + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 5$

Paso 6.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Paso 6.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Paso 6.2.3.1

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Paso 6.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (5)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Paso 6.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Paso 6.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{5}$

Paso 6.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{5}$

Paso 6.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 5) = 0$ verdadera.

$x = - 4, 4, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$