Álgebra Ejemplos

$y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Para cualquier $y = \csc (x)$ , las asíntotas verticales se producen en $x = n π$ , donde $n$ es un número entero. Usa el período básico de $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , a fin de obtener las asíntotas verticales de $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$ . Establece el interior de la función cosecante, $b x + c$ , para que $y = a \csc (b x + c) + d$ sea igual a $0$ a fin de obtener dónde se produce la asíntota vertical de $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$ .

$2 x + \frac{π}{2} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Resta $\frac{π}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $2 x = - \frac{π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.2.2.3.2

Multiplica $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 1.3

Establece el interior de la cosecante $2 x + \frac{π}{2}$ igual a $2 π$ .

$2 x + \frac{π}{2} = 2 π$

Paso 1.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.4.1.1

Resta $\frac{π}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 1.4.1.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.4.1.3

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 1.4.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 1.4.1.5.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.4.2

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.4.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 1.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.4.2.3.2

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.4.2.3.2.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 1.5

El período básico de $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$ se producirá en $(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ , donde $- \frac{π}{4}$ y $\frac{3 π}{4}$ son asíntotas verticales.

$(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$

Paso 1.6

Obtén el período $\frac{2 π}{| b |}$ para buscar dónde existen las asíntotas verticales. Las asíntotas verticales ocurren cada medio período.

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Paso 1.6.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 1.6.2.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 1.7

Las asíntotas verticales de $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$ se producen en $- \frac{π}{4}$ , $\frac{3 π}{4}$ y en cada $x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , donde $n$ es un número entero. Esta es la mitad del período.

$x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Paso 1.8

La cosecante solo tiene asíntotas verticales.

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales: $x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ donde $n$ es un número entero

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales: $x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ donde $n$ es un número entero

Paso 2

Usa la forma $a \csc (b x - c) + d$ para obtener las variables utilizadas para obtener la amplitud, el período, el desfase y el desplazamiento vertical.

$a = - 2$

$b = 2$

$c = - \frac{π}{2}$

$d = 3$

Paso 3

Como la gráfica de la función $c s c$ no tiene un valor máximo o mínimo, no puede haber un valor para la amplitud.

Amplitud: ninguna

Paso 4

Obtén el período con la fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Paso 4.1

Obtén el período de $- 2 \csc (2 x + \frac{π}{2})$ .

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Paso 4.1.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.1.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 4.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 4.1.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 4.2

Obtén el período de $3$ .

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Paso 4.2.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 4.2.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 4.2.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 4.3

El período de la suma/resta de las funciones trigonométricas es el máximo de los períodos individuales.

$π$

Paso 5

Obtén el desfase con la fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Paso 5.1

El desfase de la función puede calcularse a partir de $\frac{c}{b}$ .

Desfase: $\frac{c}{b}$

Paso 5.2

Reemplaza los valores de $c$ y $b$ en la ecuación para el desfase.

Desfase: $\frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Paso 5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

Desfase: $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.4

Multiplica $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

Desfase: $- \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 5.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

Desfase: $- \frac{π}{4}$

Paso 6

Enumera las propiedades de la función trigonométrica.

Amplitud: ninguna

Período: $π$

Desfase: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ a la izquierda)

Desplazamiento vertical: $3$

Paso 7

La función trigonométrica puede representarse de forma gráfica con la amplitud, el período, el desfase, el desplazamiento vertical y los puntos.

Asíntotas verticales: $x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ donde $n$ es un número entero

Amplitud: ninguna

Período: $π$

Desfase: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ a la izquierda)

Desplazamiento vertical: $3$

Paso 8