Álgebra Ejemplos

$\frac{3 x^{2} - 5 x - 12}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 (x) - 12}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 1.1.2

Reescribe $- 5$ como $4$ más $- 9$

$\frac{3 x^{2} + (4 - 9) x - 12}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 4 x - 9 x - 12}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 x^{2} + 4 x) - 9 x - 12}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (3 x + 4) - 3 (3 x + 4)}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 4$ .

$\frac{(3 x + 4) (x - 3)}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 4 x + 3$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 3, - 1$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(3 x + 4) (x - 3)}{(x - 3) (x - 1)}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x + 4) (x - 3)}{(x - 3) (x - 1)}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x + 4}{x - 1}$

Paso 4

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$x - 3$

Paso 5

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a $0$ , resuelve y vuelve a sustituir por $\frac{3 x + 4}{x - 1}$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5.3

Sustituye $3$ por $x$ en $\frac{3 x + 4}{x - 1}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Sustituye $3$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$\frac{3 \cdot 3 + 4}{3 - 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 + 4}{3 - 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Suma $9$ y $4$ .

$\frac{13}{3 - 1}$

Paso 5.3.2.2

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{13}{2}$

Paso 5.4

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a $0$ .

$(3, \frac{13}{2})$

Paso 6