Álgebra Ejemplos

$2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Paso 1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Paso 1.3

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común.

$(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Paso 2.3.2

Reescribe la expresión.

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Paso 3.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Paso 3.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})))$

Paso 3.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Paso 3.5

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}))$

Paso 4

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Paso 5

Multiplica $5 (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (- 5 (\frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Paso 5.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2}$ .

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (\frac{- 5}{2} + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combina $5$ y $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (\frac{- 5}{2} + \frac{5 (i \sqrt{3})}{2})$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2})$

Paso 7

Expande $(1 + i \sqrt{3}) (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2}) + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2})$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (- \frac{5}{2}) + 1 \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2})$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (- \frac{5}{2}) + 1 \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2}) + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Multiplica $- \frac{5}{2}$ por $1$ .

$- \frac{5}{2} + 1 \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2}) + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.1.2

Multiplica $\frac{5 i \sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2}) + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.1.3

Multiplica $i \sqrt{3} (- \frac{5}{2})$ .

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Paso 8.1.3.1

Combina $i$ y $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} (- \frac{i \cdot 5}{2}) + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.1.3.2

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{i \cdot 5}{2}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3} (i \cdot 5)}{2} + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.1.4

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{3} i$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.1.5

Multiplica $i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 8.1.5.1

Combina $\frac{5 i \sqrt{3}}{2}$ y $i$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i \sqrt{3} i}{2} \sqrt{3}$

Paso 8.1.5.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 (i^{1} i) \sqrt{3}}{2} \sqrt{3}$

Paso 8.1.5.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3}}{2} \sqrt{3}$

Paso 8.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{1 + 1} \sqrt{3}}{2} \sqrt{3}$

Paso 8.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} \sqrt{3}}{2} \sqrt{3}$

Paso 8.1.5.6

Combina $\frac{5 i^{2} \sqrt{3}}{2}$ y $\sqrt{3}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.1.5.7

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{2}$

Paso 8.1.5.8

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{2}$

Paso 8.1.5.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

Paso 8.1.5.10

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Paso 8.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.6.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Paso 8.1.6.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.1.6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Paso 8.1.6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Paso 8.1.6.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 8.1.6.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.6.2.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 8.1.6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{1}}{2}$

Paso 8.1.6.2.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3}{2}$

Paso 8.1.6.3

Combina exponentes.

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Paso 8.1.6.3.1

Factoriza el negativo.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{- (5 \cdot 3)}{2}$

Paso 8.1.6.3.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{- 1 \cdot 15}{2}$

Paso 8.1.6.3.3

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{- 15}{2}$

Paso 8.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} - \frac{15}{2}$

Paso 8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 5 - 15}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$

Paso 8.3

Resta $15$ de $- 5$ .

$\frac{- 20}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 20 + 5 i \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} i}{2}$

Paso 10

Reordena los factores de $- 5 \sqrt{3} i$ .

$\frac{- 20 + 5 i \sqrt{3} - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 11

Resta $5 i \sqrt{3}$ de $5 i \sqrt{3}$ .

$\frac{- 20 + 0}{2}$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Suma $- 20$ y $0$ .

$\frac{- 20}{2}$

Paso 12.2

Divide $- 20$ por $2$ .

$- 10$