Álgebra Ejemplos

$1 + \frac{5}{a - 1} \leq \frac{7}{6}$

Paso 1

Resta $\frac{7}{6}$ de ambos lados de la desigualdad.

$1 + \frac{5}{a - 1} - \frac{7}{6} \leq 0$

Paso 2

Simplifica $1 + \frac{5}{a - 1} - \frac{7}{6}$ .

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Paso 2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{a - 1}{a - 1} + \frac{5}{a - 1} - \frac{7}{6} \leq 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a - 1 + 5}{a - 1} - \frac{7}{6} \leq 0$

Paso 2.3

Suma $- 1$ y $5$ .

$\frac{a + 4}{a - 1} - \frac{7}{6} \leq 0$

Paso 2.4

Para escribir $\frac{a + 4}{a - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{a + 4}{a - 1} \cdot \frac{6}{6} - \frac{7}{6} \leq 0$

Paso 2.5

Para escribir $- \frac{7}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a + 4}{a - 1} \cdot \frac{6}{6} - \frac{7}{6} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} \leq 0$

Paso 2.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a - 1) \cdot 6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.6.1

Multiplica $\frac{a + 4}{a - 1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{(a + 4) \cdot 6}{(a - 1) \cdot 6} - \frac{7}{6} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} \leq 0$

Paso 2.6.2

Multiplica $\frac{7}{6}$ por $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{(a + 4) \cdot 6}{(a - 1) \cdot 6} - \frac{7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 2.6.3

Reordena los factores de $(a - 1) \cdot 6$ .

$\frac{(a + 4) \cdot 6}{6 (a - 1)} - \frac{7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(a + 4) \cdot 6 - 7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a \cdot 6 + 4 \cdot 6 - 7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 2.8.2

Mueve $6$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{6 \cdot a + 4 \cdot 6 - 7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 2.8.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$\frac{6 \cdot a + 24 - 7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 2.8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 a + 24 - 7 a - 7 \cdot - 1}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 2.8.5

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$\frac{6 a + 24 - 7 a + 7}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 2.8.6

Resta $7 a$ de $6 a$ .

$\frac{- a + 24 + 7}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 2.8.7

Suma $24$ y $7$ .

$\frac{- a + 31}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 2.9

Factoriza $- 1$ de $- a$ .

$\frac{- (a) + 31}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 2.10

Reescribe $31$ como $- 1 (- 31)$ .

$\frac{- (a) - 1 (- 31)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 2.11

Factoriza $- 1$ de $- (a) - 1 (- 31)$ .

$\frac{- (a - 31)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 2.12

Reescribe $- (a - 31)$ como $- 1 (a - 31)$ .

$\frac{- 1 (a - 31)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{a - 31}{6 (a - 1)} \leq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$a - 31 = 0$

$a - 1 = 0$

Paso 4

Suma $31$ a ambos lados de la ecuación.

$a = 31$

Paso 5

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$a = 1$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$a = 31$

$a = 1$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$a = 31, 1$

Paso 8

Obtén el dominio de $- \frac{a - 31}{6 (a - 1)}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{a - 31}{6 (a - 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$6 (a - 1) = 0$

Paso 8.2

Resuelve $a$

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $6 (a - 1) = 0$ por $6$ y simplifica.

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Paso 8.2.1.1

Divide cada término en $6 (a - 1) = 0$ por $6$ .

$\frac{6 (a - 1)}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 8.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 8.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (a - 1)}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 8.2.1.2.1.2

Divide $a - 1$ por $1$ .

$a - 1 = \frac{0}{6}$

Paso 8.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.1.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$a - 1 = 0$

Paso 8.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$a = 1$

Paso 8.3

El dominio son todos los valores de $a$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$a < 1$

$1 < a < 31$

$a > 31$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $a < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $a < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$a = 0$

Paso 10.1.2

Reemplaza $a$ con $0$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{5}{(0) - 1} \leq \frac{7}{6}$

Paso 10.1.3

$- 4$ del lado izquierdo es menor que $1.1\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $1 < a < 31$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $1 < a < 31$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$a = 4$

Paso 10.2.2

Reemplaza $a$ con $4$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{5}{(4) - 1} \leq \frac{7}{6}$

Paso 10.2.3

$2.\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $1.1\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $a > 31$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $a > 31$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$a = 34$

Paso 10.3.2

Reemplaza $a$ con $34$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{5}{(34) - 1} \leq \frac{7}{6}$

Paso 10.3.3

$1.\overline{15}$ del lado izquierdo es menor que $1.1\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$a < 1$ Verdadero

$1 < a < 31$ Falso

$a > 31$ Verdadero

$a < 1$ Verdadero

$1 < a < 31$ Falso

$a > 31$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$a < 1$ o $a \geq 31$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$a < 1 or a \geq 31$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup [31, \infty)$

Paso 13