Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (8) + \log_{4} (15)$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

El logaritmo en base $4$ de $8$ es $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} + \log_{4} (15)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} + \log_{4} (15)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} + \log_{4} (15)$

Paso 2

Para escribir $\log_{4} (15)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \log_{4} (15) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3

Combina fracciones.

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Paso 3.1

Combina $\log_{4} (15)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\log_{4} (15) \cdot 2}{2}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + \log_{4} (15) \cdot 2}{2}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Multiplica $\log_{4} (15) \cdot 2$ .

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Paso 4.1.1

Reordena $\log_{4} (15)$ y $2$ .

$\frac{1 + 2 \cdot \log_{4} (15)}{2}$

Paso 4.1.2

Simplifica $2 \cdot \log_{4} (15)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{1 + \log_{4} (15^{2})}{2}$

Paso 4.2

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1 + \log_{4} (225)}{2}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Reescribe $\log_{4} (225)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 5.1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{1 + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}{2}$

Paso 5.1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{1 + \frac{\log (225)}{\log (4)}}{2}$

Paso 5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{\log (4)}{\log (4)} + \frac{\log (225)}{\log (4)}}{2}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\log (4) + \log (225)}{\log (4)}}{2}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\frac{\log (4 \cdot 225)}{\log (4)}}{2}$

Paso 5.4.2

Multiplica $4$ por $225$ .

$\frac{\frac{\log (900)}{\log (4)}}{2}$

Paso 6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\log (900)}{\log (4)} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 7

Multiplica $\frac{\log (900)}{\log (4)} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{\log (900)}{\log (4)}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\log (900)}{\log (4) \cdot 2}$

Paso 7.2

Reordena $\log (4)$ y $2$ .

$\frac{\log (900)}{2 \cdot \log (4)}$

Paso 7.3

Simplifica $2 \cdot \log (4)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\log (900)}{\log (4^{2})}$

Paso 8

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\log (900)}{\log (16)}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\log (900)}{\log (16)}$

Forma decimal:

$2.45344529 \dots$