Álgebra Ejemplos

$\log (x + 1) + \log (x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 1) (x - 3)) = \log (6 x^{2} - 6)$

Paso 1.2

Expande $(x + 1) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x (x - 3) + 1 (x - 3)) = \log (6 x^{2} - 6)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3)) = \log (6 x^{2} - 6)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$\log (x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\log (x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\log (x^{2} - 3 x + x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Paso 1.3.2

Suma $- 3 x$ y $x$ .

$\log (x^{2} - 2 x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{2} - 2 x - 3 = 6 x^{2} - 6$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $6 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x - 3 - 6 x^{2} = - 6$

Paso 3.1.2

Resta $6 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 5 x^{2} - 2 x - 3 = - 6$

Paso 3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$- 5 x^{2} - 2 x - 3 + 6 = 0$

Paso 3.3

Suma $- 3$ y $6$ .

$- 5 x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Paso 3.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{2} - 2 x + 3$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{2}$ .

$- (5 x^{2}) - 2 x + 3 = 0$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$- (5 x^{2}) - (2 x) + 3 = 0$

Paso 3.4.1.3

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (5 x^{2}) - (2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 3.4.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{2}) - (2 x)$ .

$- (5 x^{2} + 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 3.4.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (5 x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Paso 3.4.2

Factoriza.

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Paso 3.4.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.4.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$- (5 x^{2} + 2 (x) - 3) = 0$

Paso 3.4.2.1.1.2

Reescribe $2$ como $- 3$ más $5$

$- (5 x^{2} + (- 3 + 5) x - 3) = 0$

Paso 3.4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (5 x^{2} - 3 x + 5 x - 3) = 0$

Paso 3.4.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.4.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((5 x^{2} - 3 x) + 5 x - 3) = 0$

Paso 3.4.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (x (5 x - 3) + 1 (5 x - 3)) = 0$

Paso 3.4.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x - 3$ .

$- ((5 x - 3) (x + 1)) = 0$

Paso 3.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (5 x - 3) (x + 1) = 0$

Paso 3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.6

Establece $5 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $5 x - 3$ igual a $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $5 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.6.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 3$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $5 x = 3$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $5 x = 3$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Paso 3.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Paso 3.7

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (5 x - 3) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3}{5}, - 1$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (x + 1) + \log (x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$ sea verdadera.

$No hay solución$