Álgebra Ejemplos

$\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} < \frac{5}{a + b}$

Paso 1

Resta $\frac{5}{a + b}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b}$ .

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Paso 2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = b$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{3 x}{a - b}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a + b) (a - b)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{3 x}{a - b}$ por $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Paso 2.3.2

Reordena los factores de $(a - b) (a + b)$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Factoriza $x$ de $x + 3 x (a + b)$ .

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Paso 2.5.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Paso 2.5.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Paso 2.5.1.3

Factoriza $x$ de $3 x (a + b)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (3 (a + b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Paso 2.5.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (3 (a + b))$ .

$\frac{x (1 + 3 (a + b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Paso 2.6

Para escribir $- \frac{5}{a + b}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} < 0$

Paso 2.7

Multiplica $\frac{5}{a + b}$ por $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x (3 a) + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Paso 2.9.2

Simplifica.

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Paso 2.9.2.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x + x (3 a) + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Paso 2.9.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x + 3 x a + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Paso 2.9.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Paso 2.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a - 5 (- b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Paso 2.9.4

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} < 0$

Paso 3

Multiplica ambos lados por $(a + b) (a - b)$ .

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b)) < 0 ((a + b) (a - b))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Simplifica $\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b))$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común de $(a + b) (a - b)$ .

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Paso 4.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b)) < 0 ((a + b) (a - b))$

Paso 4.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Paso 4.1.1.2

Reordena.

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Paso 4.1.1.2.1

Mueve $x$ .

$x + 3 a x + 3 x b - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Paso 4.1.1.2.2

Mueve $x$ .

$x + 3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Paso 4.1.1.2.3

Mueve $x$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 ((a + b) (a - b))$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $0 ((a + b) (a - b))$ .

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Paso 4.2.1.1

Expande $(a + b) (a - b)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a (a - b) + b (a - b))$

Paso 4.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + a (- b) + b (a - b))$

Paso 4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b))$

Paso 4.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1.2.1

Combina los términos opuestos en $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

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Paso 4.2.1.2.1.1

Reordena los factores en los términos $a (- b)$ y $b a$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a - a b + a b + b (- b))$

Paso 4.2.1.2.1.2

Suma $- a b$ y $a b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + 0 + b (- b))$

Paso 4.2.1.2.1.3

Suma $a \cdot a$ y $0$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + b (- b))$

Paso 4.2.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.2.2.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} + b (- b))$

Paso 4.2.1.2.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - b \cdot b)$

Paso 4.2.1.2.2.3

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.2.2.3.1

Mueve $b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - (b \cdot b))$

Paso 4.2.1.2.2.3.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - b^{2})$

Paso 4.2.1.2.3

Multiplica $0$ por $a^{2} - b^{2}$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 5.1.1

Suma $5 a$ a ambos lados de la desigualdad.

$3 a x + 3 b x + 5 b + x < 5 a$

Paso 5.1.2

Resta $5 b$ de ambos lados de la desigualdad.

$3 a x + 3 b x + x < 5 a - 5 b$

Paso 5.2

Factoriza $x$ de $3 a x + 3 b x + x$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x$ de $3 a x$ .

$x (3 a) + 3 b x + x < 5 a - 5 b$

Paso 5.2.2

Factoriza $x$ de $3 b x$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x < 5 a - 5 b$

Paso 5.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x < 5 a - 5 b$

Paso 5.2.4

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x \cdot 1 < 5 a - 5 b$

Paso 5.2.5

Factoriza $x$ de $x (3 a) + x (3 b)$ .

$x (3 a + 3 b) + x \cdot 1 < 5 a - 5 b$

Paso 5.2.6

Factoriza $x$ de $x (3 a + 3 b) + x \cdot 1$ .

$x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$

Paso 5.3

Divide cada término en $x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$ por $3 a + 3 b + 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$ por $3 a + 3 b + 1$ .

$\frac{x (3 a + 3 b + 1)}{3 a + 3 b + 1} < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3 a + 3 b + 1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (3 a + 3 b + 1)}{3 a + 3 b + 1} < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x < \frac{5 a - 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $5$ de $5 a - 5 b$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $5$ de $5 a$ .

$x < \frac{5 (a) - 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $5$ de $- 5 b$ .

$x < \frac{5 (a) + 5 (- b)}{3 a + 3 b + 1}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $5$ de $5 (a) + 5 (- b)$ .

$x < \frac{5 (a - b)}{3 a + 3 b + 1}$