Álgebra Ejemplos

$x^{2} - 4 x - 5 \leq 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 4 x - 5$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 5, 1$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 4

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 1$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 5 \leq 0$

Paso 8.1.3

$27$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 5 \leq 0$

Paso 8.2.3

$- 5$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

${(8)}^{2} - 4 \cdot 8 - 5 \leq 0$

Paso 8.3.3

$27$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 \leq x \leq 5$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 1 \leq x \leq 5$

Notación de intervalo:

$[- 1, 5]$

Paso 11