Álgebra Ejemplos

y^{3} - 27 = 9 y^{2} - 27 y

$y^{3} - 27 = 9 y^{2} - 27 y$

Paso 1

Resuelve

y

$y$

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Paso 1.1

Como

y

$y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

9 y^{2} - 27 y = y^{3} - 27

$9 y^{2} - 27 y = y^{3} - 27$

Paso 1.2

Resta

y^{3}

$y^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

9 y^{2} - 27 y - y^{3} = - 27

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} = - 27$

Paso 1.3

Suma

27

$27$ a ambos lados de la ecuación.

9 y^{2} - 27 y - y^{3} + 27 = 0

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} + 27 = 0$

Paso 1.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27 = 0

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27 = 0$

Paso 1.4.2

Factoriza

- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.4.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , donde

p

$p$ es un factor de la constante y

q

$q$ es un factor del coeficiente principal.

p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Paso 1.4.2.2

Obtén todas las combinaciones de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Paso 1.4.2.3

Sustituye

3

$3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a

0

$0$ , por lo que

3

$3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.4.2.3.1

Sustituye

3

$3$ en el polinomio.

- 3^{3} + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27

$- 3^{3} + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Paso 1.4.2.3.2

Eleva

3

$3$ a la potencia de

3

$3$ .

- 1 \cdot 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27

$- 1 \cdot 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Paso 1.4.2.3.3

Multiplica

- 1

$- 1$ por

27

$27$ .

- 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27

$- 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Paso 1.4.2.3.4

Eleva

3

$3$ a la potencia de

2

$2$ .

- 27 + 9 \cdot 9 - 27 \cdot 3 + 27

$- 27 + 9 \cdot 9 - 27 \cdot 3 + 27$

Paso 1.4.2.3.5

Multiplica

9

$9$ por

9

$9$ .

- 27 + 81 - 27 \cdot 3 + 27

$- 27 + 81 - 27 \cdot 3 + 27$

Paso 1.4.2.3.6

Suma

- 27

$- 27$ y

81

$81$ .

54 - 27 \cdot 3 + 27

$54 - 27 \cdot 3 + 27$

Paso 1.4.2.3.7

Multiplica

- 27

$- 27$ por

3

$3$ .

54 - 81 + 27

$54 - 81 + 27$

Paso 1.4.2.3.8

Resta

81

$81$ de

54

$54$ .

- 27 + 27

$- 27 + 27$

Paso 1.4.2.3.9

Suma

- 27

$- 27$ y

27

$27$ .

0

$0$

0

$0$

Paso 1.4.2.4

Como

3

$3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por

y - 3

$y - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

\frac{- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27}{y - 3}

$\frac{- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27}{y - 3}$

Paso 1.4.2.5

Divide

- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ por

y - 3

$y - 3$ .

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Paso 1.4.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de

0

$0$ .

y

$y$

3

$3$

y^{3}

$y^{3}$

9 y^{2}

$9 y^{2}$

27 y

$27 y$

27

$27$

Paso 1.4.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo

- y^{3}

$- y^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor

y

$y$ .

				-	$y^{2}$ $y^{2}$
	$y$ $y$	-	$3$ $3$	-	$y^{3}$ $y^{3}$	+	$9 y^{2}$ $9 y^{2}$	-	$27 y$ $27 y$	+	$27$ $27$

Paso 1.4.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$y^{2}$ $y^{2}$
$y$ $y$	-	$3$ $3$	-	$y^{3}$ $y^{3}$	+	$9 y^{2}$ $9 y^{2}$	-	$27 y$ $27 y$	+	$27$ $27$
			-	$y^{3}$ $y^{3}$	+	$3 y^{2}$ $3 y^{2}$

Paso 1.4.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

- y^{3} + 3 y^{2}

$- y^{3} + 3 y^{2}$ .

			-	$y^{2}$ $y^{2}$
$y$ $y$	-	$3$ $3$	-	$y^{3}$ $y^{3}$	+	$9 y^{2}$ $9 y^{2}$	-	$27 y$ $27 y$	+	$27$ $27$
			+	$y^{3}$ $y^{3}$	-	$3 y^{2}$ $3 y^{2}$

Paso 1.4.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$y^{2}$ $y^{2}$
$y$ $y$	-	$3$ $3$	-	$y^{3}$ $y^{3}$	+	$9 y^{2}$ $9 y^{2}$	-	$27 y$ $27 y$	+	$27$ $27$
			+	$y^{3}$ $y^{3}$	-	$3 y^{2}$ $3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$ $6 y^{2}$

Paso 1.4.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$y^{2}$ $y^{2}$
$y$ $y$	-	$3$ $3$	-	$y^{3}$ $y^{3}$	+	$9 y^{2}$ $9 y^{2}$	-	$27 y$ $27 y$	+	$27$ $27$
			+	$y^{3}$ $y^{3}$	-	$3 y^{2}$ $3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$ $6 y^{2}$	-	$27 y$ $27 y$

Paso 1.4.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo

6 y^{2}

$6 y^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor

y

$y$ .

			-	$y^{2}$ $y^{2}$	+	$6 y$ $6 y$
$y$ $y$	-	$3$ $3$	-	$y^{3}$ $y^{3}$	+	$9 y^{2}$ $9 y^{2}$	-	$27 y$ $27 y$	+	$27$ $27$
			+	$y^{3}$ $y^{3}$	-	$3 y^{2}$ $3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$ $6 y^{2}$	-	$27 y$ $27 y$

Paso 1.4.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$y^{2}$ $y^{2}$	+	$6 y$ $6 y$
$y$ $y$	-	$3$ $3$	-	$y^{3}$ $y^{3}$	+	$9 y^{2}$ $9 y^{2}$	-	$27 y$ $27 y$	+	$27$ $27$
			+	$y^{3}$ $y^{3}$	-	$3 y^{2}$ $3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$ $6 y^{2}$	-	$27 y$ $27 y$
					+	$6 y^{2}$ $6 y^{2}$	-	$18 y$ $18 y$

Paso 1.4.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

6 y^{2} - 18 y

$6 y^{2} - 18 y$ .

			-	$y^{2}$ $y^{2}$	+	$6 y$ $6 y$
$y$ $y$	-	$3$ $3$	-	$y^{3}$ $y^{3}$	+	$9 y^{2}$ $9 y^{2}$	-	$27 y$ $27 y$	+	$27$ $27$
			+	$y^{3}$ $y^{3}$	-	$3 y^{2}$ $3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$ $6 y^{2}$	-	$27 y$ $27 y$
					-	$6 y^{2}$ $6 y^{2}$	+	$18 y$ $18 y$

Paso 1.4.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$y^{2}$ $y^{2}$	+	$6 y$ $6 y$
$y$ $y$	-	$3$ $3$	-	$y^{3}$ $y^{3}$	+	$9 y^{2}$ $9 y^{2}$	-	$27 y$ $27 y$	+	$27$ $27$
			+	$y^{3}$ $y^{3}$	-	$3 y^{2}$ $3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$ $6 y^{2}$	-	$27 y$ $27 y$
					-	$6 y^{2}$ $6 y^{2}$	+	$18 y$ $18 y$
							-	$9 y$

Paso 1.4.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

Paso 1.4.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo

$- 9 y$ por el término de mayor orden en el divisor

$y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

Paso 1.4.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							-	$9 y$	+	$27$

Paso 1.4.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

$- 9 y + 27$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$

Paso 1.4.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$
										$0$

Paso 1.4.2.5.16

Como el resto es

$0$ , la respuesta final es el cociente.

$- y^{2} + 6 y - 9$

Paso 1.4.2.6

Escribe

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ como un conjunto de factores.

$(y - 3) (- y^{2} + 6 y - 9) = 0$

Paso 1.4.3

Factoriza.

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Paso 1.4.3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.4.3.1.1

Para un polinomio de la forma

$a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es

$a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ y cuya suma es

$b = 6$ .

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Paso 1.4.3.1.1.1

Factoriza

$6$ de

$6 y$ .

$(y - 3) (- y^{2} + 6 (y) - 9) = 0$

Paso 1.4.3.1.1.2

Reescribe

$6$ como

$3$ más

$3$

$(y - 3) (- y^{2} + (3 + 3) y - 9) = 0$

Paso 1.4.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(y - 3) (- y^{2} + 3 y + 3 y - 9) = 0$

Paso 1.4.3.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.4.3.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(y - 3) ((- y^{2} + 3 y) + 3 y - 9) = 0$

Paso 1.4.3.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(y - 3) (y (- y + 3) - 3 (- y + 3)) = 0$

Paso 1.4.3.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor,

$- y + 3$ .

$(y - 3) ((- y + 3) (y - 3)) = 0$

Paso 1.4.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(y - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4

Combina exponentes.

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Paso 1.4.4.1

Factoriza

$- 1$ de

$y$ .

$(- 1 (- y) - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4.2

Reescribe

$- 3$ como

$- 1 (3)$ .

$(- 1 (- y) - 1 \cdot 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4.3

Factoriza

$- 1$ de

$- 1 (- y) - 1 (3)$ .

$- 1 (- y + 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4.4

Eleva

$- y + 3$ a la potencia de

$1$ .

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4.5

Eleva

$- y + 3$ a la potencia de

$1$ .

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4.6

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 1 {(- y + 3)}^{1 + 1} (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4.7

Suma

$1$ y

$1$ .

$- 1 {(- y + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4.8

Factoriza

$- 1$ de

$- y$ .

$- 1 {(- (y) + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4.9

Reescribe

$3$ como

$- 1 (- 3)$ .

$- 1 {(- (y) - 1 \cdot - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4.10

Factoriza

$- 1$ de

$- (y) - 1 (- 3)$ .

$- 1 {(- (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4.11

Reescribe

$- (y - 3)$ como

$- 1 (y - 3)$ .

$- 1 {(- 1 (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4.12

Aplica la regla del producto a

$- 1 (y - 3)$ .

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4.13

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$- 1 (1 {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4.14

Multiplica

${(y - 3)}^{2}$ por

$1$ .

$- 1 {(y - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Paso 1.4.4.15

Eleva

$y - 3$ a la potencia de

$1$ .

$- 1 ((y - 3) {(y - 3)}^{2}) = 0$

Paso 1.4.4.16

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 1 {(y - 3)}^{1 + 2} = 0$

Paso 1.4.4.17

Suma

$1$ y

$2$ .

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$

Paso 1.5

Divide cada término en

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ por

$- 1$ y simplifica.

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Paso 1.5.1

Divide cada término en

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ por

$- 1$ .

$\frac{- 1 {(y - 3)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{{(y - 3)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 1.5.2.2

Divide

${(y - 3)}^{3}$ por

$1$ .

${(y - 3)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Paso 1.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.1

Divide

$0$ por

$- 1$ .

${(y - 3)}^{3} = 0$

Paso 1.6

Establece

$y - 3$ igual a

$0$ .

$y - 3 = 0$

Paso 1.7

Suma

$3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 3$

Paso 2

Establece

$9 y^{2} - 27 y$ igual a

$0$ .

$3 = 0$

Paso 3

Como

$3 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución