Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{3} {(x + 3)}^{2} (x - 5)$

Paso 1

Simplifica el polinomio, luego reordénalo de izquierda a derecha, comienza por el término de mayor grado.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$f (x) = x^{3} ((x + 3) (x + 3)) (x - 5)$

Paso 1.2

Expande $(x + 3) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = x^{3} (x (x + 3) + 3 (x + 3)) (x - 5)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = x^{3} (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) (x - 5)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = x^{3} (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (x - 5)$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = x^{3} (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (x - 5)$

Paso 1.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) = x^{3} (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) (x - 5)$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (x) = x^{3} (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) (x - 5)$

Paso 1.3.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$f (x) = x^{3} (x^{2} + 6 x + 9) (x - 5)$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x^{3} x^{2} + x^{3} (6 x) + x^{3} \cdot 9) (x - 5)$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x) = (x^{3 + 2} + x^{3} (6 x) + x^{3} \cdot 9) (x - 5)$

Paso 1.5.1.2

Suma $3$ y $2$ .

$f (x) = (x^{5} + x^{3} (6 x) + x^{3} \cdot 9) (x - 5)$

Paso 1.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x) = (x^{5} + 6 x^{3} x + x^{3} \cdot 9) (x - 5)$

Paso 1.5.3

Mueve $9$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$f (x) = (x^{5} + 6 x^{3} x + 9 \cdot x^{3}) (x - 5)$

Paso 1.6

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1

Mueve $x$ .

$f (x) = (x^{5} + 6 (x \cdot x^{3}) + 9 \cdot x^{3}) (x - 5)$

Paso 1.6.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x) = (x^{5} + 6 (x \cdot x^{3}) + 9 \cdot x^{3}) (x - 5)$

Paso 1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x) = (x^{5} + 6 x^{1 + 3} + 9 \cdot x^{3}) (x - 5)$

Paso 1.6.3

Suma $1$ y $3$ .

$f (x) = (x^{5} + 6 x^{4} + 9 \cdot x^{3}) (x - 5)$

$f (x) = (x^{5} + 6 x^{4} + 9 x^{3}) (x - 5)$

Paso 1.7

Expande $(x^{5} + 6 x^{4} + 9 x^{3}) (x - 5)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f (x) = x^{5} x + x^{5} \cdot - 5 + 6 x^{4} x + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Paso 1.8

Simplifica los términos.

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Paso 1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.1.1

Multiplica $x^{5}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.8.1.1.1

Multiplica $x^{5}$ por $x$ .

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Paso 1.8.1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x) = x^{5} x + x^{5} \cdot - 5 + 6 x^{4} x + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Paso 1.8.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x) = x^{5 + 1} + x^{5} \cdot - 5 + 6 x^{4} x + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Paso 1.8.1.1.2

Suma $5$ y $1$ .

$f (x) = x^{6} + x^{5} \cdot - 5 + 6 x^{4} x + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Paso 1.8.1.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$f (x) = x^{6} - 5 \cdot x^{5} + 6 x^{4} x + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Paso 1.8.1.3

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.8.1.3.1

Mueve $x$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 (x \cdot x^{4}) + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Paso 1.8.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 1.8.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 (x \cdot x^{4}) + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Paso 1.8.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{1 + 4} + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Paso 1.8.1.3.3

Suma $1$ y $4$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{5} + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Paso 1.8.1.4

Multiplica $- 5$ por $6$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{5} - 30 x^{4} + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Paso 1.8.1.5

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.8.1.5.1

Mueve $x$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{5} - 30 x^{4} + 9 (x \cdot x^{3}) + 9 x^{3} \cdot - 5$

Paso 1.8.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.8.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{5} - 30 x^{4} + 9 (x \cdot x^{3}) + 9 x^{3} \cdot - 5$

Paso 1.8.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{5} - 30 x^{4} + 9 x^{1 + 3} + 9 x^{3} \cdot - 5$

Paso 1.8.1.5.3

Suma $1$ y $3$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{5} - 30 x^{4} + 9 x^{4} + 9 x^{3} \cdot - 5$

Paso 1.8.1.6

Multiplica $- 5$ por $9$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{5} - 30 x^{4} + 9 x^{4} - 45 x^{3}$

Paso 1.8.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.8.2.1

Suma $- 5 x^{5}$ y $6 x^{5}$ .

$f (x) = x^{6} + x^{5} - 30 x^{4} + 9 x^{4} - 45 x^{3}$

Paso 1.8.2.2

Suma $- 30 x^{4}$ y $9 x^{4}$ .

$f (x) = x^{6} + x^{5} - 21 x^{4} - 45 x^{3}$

Paso 2

El grado de un polinomio es el mayor grado de sus términos.

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Paso 2.1

Identifica los exponentes de las variables en cada término y súmalos para obtener el grado de cada término.

$x^{6} \to 6$

$x^{5} \to 5$

$- 21 x^{4} \to 4$

$- 45 x^{3} \to 3$

Paso 2.2

El mayor exponente es el grado del polinomio.

$6$

Paso 3

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$x^{6}$

Paso 4

El coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

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Paso 4.1

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$x^{6}$

Paso 4.2

El coeficiente principal en un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

$1$

Paso 5

Enumera los resultados.

Grado del polinomio: $6$

Término de mayor grado: $x^{6}$

Coeficiente principal: $1$