Álgebra Ejemplos

$\log (3 x - 1) > \log (4 - x)$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log (3 x - 1) = \log (4 - x)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$3 x - 1 = 4 - x$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x - 1 + x = 4$

Paso 2.2.1.2

Suma $3 x$ y $x$ .

$4 x - 1 = 4$

Paso 2.2.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 4 + 1$

Paso 2.2.2.2

Suma $4$ y $1$ .

$4 x = 5$

Paso 2.2.3

Divide cada término en $4 x = 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Divide cada término en $4 x = 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Paso 2.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log (\frac{3 x - 1}{4 - x})$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log (\frac{3 x - 1}{4 - x})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{3 x - 1}{4 - x} > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$3 x - 1 = 0$

$4 - x = 0$

Paso 3.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 3.2.3

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 3.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 3.2.4

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 3.2.5

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.5.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.5.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 3.2.6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{1}{3}$

$x = 4$

Paso 3.2.7

Consolida las soluciones.

$x = \frac{1}{3}, 4$

Paso 3.2.8

Obtén el dominio de $\frac{3 x - 1}{4 - x}$ .

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Paso 3.2.8.1

Establece el denominador en $\frac{3 x - 1}{4 - x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$4 - x = 0$

Paso 3.2.8.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.8.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 3.2.8.2.2

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.8.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.2.8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.8.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.2.8.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.2.8.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.8.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 3.2.8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 3.2.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 4$

$x > 4$

Paso 3.2.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.2.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 3.2.10.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (0) - 1}{4 - (0)} > 0$

Paso 3.2.10.1.3

$- 0.25$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 3.2.10.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{3} < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{3} < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 3.2.10.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (2) - 1}{4 - (2)} > 0$

Paso 3.2.10.2.3

$2.5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.2.10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 3.2.10.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (6) - 1}{4 - (6)} > 0$

Paso 3.2.10.3.3

$- 8.5$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 3.2.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1}{3}$ Falso

$\frac{1}{3} < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < \frac{1}{3}$ Falso

$\frac{1}{3} < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 3.2.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1}{3} < x < 4$

Paso 3.3

Establece el denominador en $\frac{3 x - 1}{4 - x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$4 - x = 0$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(\frac{1}{3}, 4)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} < x < 4$

$x > 4$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\log (3 (0) - 1) > \log (4 - (0))$

Paso 5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\log (3 (1) - 1) > \log (4 - (1))$

Paso 5.2.3

$0.30102999$ del lado izquierdo no es mayor que $0.47712125$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5}{4} < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{5}{4} < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\log (3 (3) - 1) > \log (4 - (3))$

Paso 5.3.3

$0.90308998$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 5.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\log (3 (6) - 1) > \log (4 - (6))$

Paso 5.4.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.4.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.4.3.2

El lado derecho no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1}{3}$ Falso

$\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ Falso

$\frac{5}{4} < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < \frac{1}{3}$ Falso

$\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ Falso

$\frac{5}{4} < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{5}{4} < x < 4$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$\frac{5}{4} < x < 4$

Notación de intervalo:

$(\frac{5}{4}, 4)$

Paso 8