Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 25} \div \frac{x^{2} - 8 x + 15}{x^{2} + 7 x + 10}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + 7 x + 10$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $7$ .

$2, 5$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{x^{2} - 8 x + 15}$

Paso 5

Factoriza $x^{2} - 8 x + 15$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $15$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 5, - 3$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 5) (x - 3)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $x - 3$ de $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 5) (x - 3)}$

Paso 6.1.2

Factoriza $x - 3$ de $(x - 5) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 3) (x - 5)}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 3) (x - 5)}$

Paso 6.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{x - 5}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $x + 5$ de $(x + 2) (x + 5)$ .

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 2)}{x - 5}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 2)}{x - 5}$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 3}{x - 5} \cdot \frac{x + 2}{x - 5}$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{x + 3}{x - 5}$ por $\frac{x + 2}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{(x - 5) (x - 5)}$

Paso 7

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{1} (x - 5)}$

Paso 8

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}}$

Paso 9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{1 + 1}}$

Paso 10

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$