Álgebra Ejemplos

$\frac{8}{2 x^{2} - 7 x + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 x$ .

$\frac{8}{2 x^{2} - 7 (x) + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $- 7$ como $- 2$ más $- 5$

$\frac{8}{2 x^{2} + (- 2 - 5) x + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8}{2 x^{2} - 2 x - 5 x + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{8}{(2 x^{2} - 2 x) - 5 x + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{8}{2 x (x - 1) - 5 (x - 1)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Paso 1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Paso 1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - (x) - 10}$

Paso 1.2.1.2

Reescribe $- 1$ como $4$ más $- 5$

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} + (4 - 5) x - 10}$

Paso 1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{(2 x^{2} + 4 x) - 5 x - 10}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x (x + 2) - 5 (x + 2)}$

Paso 1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 2$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 1) (2 x - 5) (x + 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{8 (x + 2)}{(x - 1) (2 x - 5) (x + 2)} + \frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{8 (x + 2)}{(x - 1) (2 x - 5) (x + 2)} + \frac{(3 x + 2) (x - 1)}{(x + 2) (2 x - 5) (x - 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 1) (2 x - 5) (x + 2)$ .

$\frac{8 (x + 2)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)} + \frac{(3 x + 2) (x - 1)}{(x + 2) (2 x - 5) (x - 1)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(x + 2) (2 x - 5) (x - 1)$ .

$\frac{8 (x + 2)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)} + \frac{(3 x + 2) (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 (x + 2) + (3 x + 2) (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x + 8 \cdot 2 + (3 x + 2) (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 6.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{8 x + 16 + (3 x + 2) (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 6.3

Expande $(3 x + 2) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x + 16 + 3 x (x - 1) + 2 (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 6.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x + 16 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 2 (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 6.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x + 16 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 6.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 6.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 6.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot - 1}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 6.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 x^{2} - 3 x + 2 x - 2}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 6.4.2

Suma $- 3 x$ y $2 x$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 x^{2} - x - 2}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 6.5

Resta $x$ de $8 x$ .

$\frac{7 x + 16 + 3 x^{2} - 2}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 6.6

Resta $2$ de $16$ .

$\frac{7 x + 3 x^{2} + 14}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 6.7

Reordena los términos.

$\frac{3 x^{2} + 7 x + 14}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$