Álgebra Ejemplos

$\log (x^{2} - 2) + 2 \log (6) = \log (6 x)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log (x^{2} - 2) + 2 \log (6) - \log (6 x) = 0$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log (6) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $2 \log (6) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x})$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Simplifica $2 \log (6)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log (6^{2}) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Paso 3.1.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\log (36) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Paso 3.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (36 \frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.1.3.1

Factoriza $6$ de $36$ .

$\log (6 (6) \frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Paso 3.1.3.2

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$\log (6 (6) \frac{x^{2} - 2}{6 (x)}) = 0$

Paso 3.1.3.3

Cancela el factor común.

$\log (6 \cdot 6 \frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Paso 3.1.3.4

Reescribe la expresión.

$\log (6 \frac{x^{2} - 2}{x}) = 0$

Paso 3.1.4

Combina $6$ y $\frac{x^{2} - 2}{x}$ .

$\log (\frac{6 (x^{2} - 2)}{x}) = 0$

Paso 4

Reescribe $\log (\frac{6 (x^{2} - 2)}{x}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{6 (x^{2} - 2)}{x}$

Paso 5

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$6 (x^{2} - 2) = 10^{0} (x)$

Paso 6

Simplifica $10^{0} (x)$ .

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Paso 6.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$6 (x^{2} - 2) = 1 x$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$6 (x^{2} - 2) = x$

Paso 7

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$6 (x^{2} - 2) - x = 0$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + 6 \cdot - 2 - x = 0$

Paso 7.2.2

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$6 x^{2} - 12 - x = 0$

Paso 8

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.1

Reordena los términos.

$6 x^{2} - x - 12 = 0$

Paso 8.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 12 = - 72$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$6 x^{2} - (x) - 12 = 0$

Paso 8.2.2

Reescribe $- 1$ como $8$ más $- 9$

$6 x^{2} + (8 - 9) x - 12 = 0$

Paso 8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + 8 x - 9 x - 12 = 0$

Paso 8.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(6 x^{2} + 8 x) - 9 x - 12 = 0$

Paso 8.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 x (3 x + 4) - 3 (3 x + 4) = 0$

Paso 8.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$

Paso 9

Simplifica $(3 x + 4) (2 x - 3)$ .

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Paso 9.1

Expande $(3 x + 4) (2 x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x (2 x - 3) + 4 (2 x - 3) = 0$

Paso 9.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x (2 x) + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x - 3) = 0$

Paso 9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x (2 x) + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Paso 9.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 9.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Paso 9.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Paso 9.2.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Paso 9.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$6 x^{2} - 9 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Paso 9.2.1.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$6 x^{2} - 9 x + 8 x + 4 \cdot - 3 = 0$

Paso 9.2.1.6

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$6 x^{2} - 9 x + 8 x - 12 = 0$

Paso 9.2.2

Suma $- 9 x$ y $8 x$ .

$6 x^{2} - x - 12 = 0$

Paso 10

Factoriza por agrupación.

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Paso 10.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 12 = - 72$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$6 x^{2} - (x) - 12 = 0$

Paso 10.1.2

Reescribe $- 1$ como $8$ más $- 9$

$6 x^{2} + (8 - 9) x - 12 = 0$

Paso 10.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + 8 x - 9 x - 12 = 0$

Paso 10.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 10.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(6 x^{2} + 8 x) - 9 x - 12 = 0$

Paso 10.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 x (3 x + 4) - 3 (3 x + 4) = 0$

Paso 10.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Paso 12

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Paso 12.2

Resuelve $3 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 4$

Paso 12.2.2

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 12.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 12.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 12.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Paso 12.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4}{3}$

Paso 13

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 13.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 13.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 13.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 13.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 13.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{4}{3}, \frac{3}{2}$

Paso 15

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (x^{2} - 2) + 2 \log (6) = \log (6 x)$ sea verdadera.

$x = \frac{3}{2}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.5$

Forma de número mixto:

$x = 1 \frac{1}{2}$