Álgebra Ejemplos

$y = - 2 (x^{2} + 1)$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Simplifica $- 2 (x^{2} + 1)$ .

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Paso 1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 2 x^{2} - 2 \cdot 1$

Paso 1.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$y = - 2 x^{2} - 2$

Paso 1.1.2

Completa el cuadrado de $- 2 x^{2} - 2$ .

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Paso 1.1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 2$

$b = 0$

$c = - 2$

Paso 1.1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 2}$

Paso 1.1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 1.1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 2}$

Paso 1.1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- 2)}$

Paso 1.1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot - 2}$

Paso 1.1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{- 2}$

Paso 1.1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $- 2$ .

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Paso 1.1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{- 2}$

Paso 1.1.2.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Paso 1.1.2.3.2.3

Reescribe $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Paso 1.1.2.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Paso 1.1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 2}$

Paso 1.1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = - 2 - \frac{0}{4 \cdot - 2}$

Paso 1.1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$e = - 2 - \frac{0}{- 8}$

Paso 1.1.2.4.2.1.3

Divide $0$ por $- 8$ .

$e = - 2 - 0$

Paso 1.1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = - 2 + 0$

Paso 1.1.2.4.2.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$e = - 2$

Paso 1.1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 2 {(x + 0)}^{2} - 2$ .

$- 2 {(x + 0)}^{2} - 2$

Paso 1.1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - 2 {(x + 0)}^{2} - 2$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 2$

$h = 0$

$k = - 2$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, - 2)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{8}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, - \frac{17}{8})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 0$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{15}{8}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, - 2)$

Foco: $(0, - \frac{17}{8})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = - \frac{15}{8}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, - 2)$

Foco: $(0, - \frac{17}{8})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = - \frac{15}{8}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - 2 {(- 1)}^{2} - 2$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = - 2 \cdot 1 - 2$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 2$

Paso 2.2.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$f (- 1) = - 4$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Multiplica $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1.1.1

Multiplica $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ .

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Paso 2.5.1.1.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 2$

Paso 2.5.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 2$

Paso 2.5.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2$

Paso 2.5.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f (- 2) = - 8 - 2$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de $- 8$ .

$f (- 2) = - 10$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $- 10$ .

$- 10$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $- 10$ .

$y = - 10$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - 2 {(1)}^{2} - 2$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - 2 \cdot 1 - 2$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (1) = - 2 - 2$

Paso 2.8.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$f (1) = - 4$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 1$ es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - 2 {(2)}^{2} - 2$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = - 2 \cdot 4 - 2$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f (2) = - 8 - 2$

Paso 2.11.2

Resta $2$ de $- 8$ .

$f (2) = - 10$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $- 10$ .

$- 10$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 2$ es $- 10$ .

$y = - 10$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 10 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 10 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, - 2)$

Foco: $(0, - \frac{17}{8})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = - \frac{15}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 10 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 10 \end{array}$

Paso 4