Álgebra Ejemplos

$h = \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} t$ ; for $t$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot (g t^{2}) + v t = h$ .

$\frac{1}{2} \cdot (g t^{2}) + v t = h$

Paso 2

Multiplica $\frac{1}{2} (g t^{2})$ .

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Paso 2.1

Combina $g$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{g}{2} t^{2} + v t = h$

Paso 2.2

Combina $\frac{g}{2}$ y $t^{2}$ .

$\frac{g t^{2}}{2} + v t = h$

Paso 3

Resta $h$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{g t^{2}}{2} + v t - h = 0$

Paso 4

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{g t^{2}}{2}) + 2 (v t) + 2 (- h) = 0$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{g t^{2}}{2}) + 2 (v t) + 2 (- h) = 0$

Paso 4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$g t^{2} + 2 (v t) + 2 (- h) = 0$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$g t^{2} + 2 v t - 2 h = 0$

Paso 4.3

Mueve $v$ .

$g t^{2} + 2 t v - 2 h = 0$

Paso 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6

Sustituye los valores $a = g$ , $b = 2 v$ y $c = - 2 h$ en la fórmula cuadrática y resuelve $t$ .

$\frac{- 2 v \pm \sqrt{{(2 v)}^{2} - 4 \cdot (g \cdot (- 2 h))}}{2 g}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Agrega paréntesis.

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{{(2 v)}^{2} - 4 \cdot (g \cdot (- 2 h))}}{2 g}$

Paso 7.1.2

Sea $u = g \cdot (- 2 h)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $g \cdot (- 2 h)$ .

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Paso 7.1.2.1

Aplica la regla del producto a $2 v$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{2^{2} v^{2} - 4 \cdot u}}{2 g}$

Paso 7.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 v^{2} - 4 u}}{2 g}$

Paso 7.1.3

Factoriza $4$ de $4 v^{2} - 4 u$ .

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Paso 7.1.3.1

Factoriza $4$ de $4 v^{2}$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2}) - 4 u}}{2 g}$

Paso 7.1.3.2

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2}) + 4 (- u)}}{2 g}$

Paso 7.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 (v^{2}) + 4 (- u)$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2} - u)}}{2 g}$

Paso 7.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $g \cdot (- 2 h)$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2} - (g \cdot (- 2 h)))}}{2 g}$

Paso 7.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2} - (- 2 g h))}}{2 g}$

Paso 7.1.5.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2} + 2 g h)}}{2 g}$

Paso 7.1.6

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{2^{2} (v^{2} + 2 g h)}}{2 g}$

Paso 7.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{- 2 v \pm 2 \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{2 g}$

Paso 7.2

Simplifica $\frac{- 2 v \pm 2 \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{2 g}$ .

$t = \frac{- v \pm \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{g}$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$t = - \frac{v - \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{g}$

$t = - \frac{v + \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{g}$