Álgebra Ejemplos

$\frac{9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{3^{2} - x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = x$ .

$\frac{9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{x^{2} + 2 x - 3}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Factoriza $9 x$ de $9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $9 x$ de $9 x^{3}$ .

$\frac{9 x (x^{2}) - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 3.1.2

Factoriza $9 x$ de $- 45 x^{2}$ .

$\frac{9 x (x^{2}) + 9 x (- 5 x) + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 3.1.3

Factoriza $9 x$ de $36 x$ .

$\frac{9 x (x^{2}) + 9 x (- 5 x) + 9 x (4)}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 3.1.4

Factoriza $9 x$ de $9 x (x^{2}) + 9 x (- 5 x)$ .

$\frac{9 x (x^{2} - 5 x) + 9 x (4)}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 3.1.5

Factoriza $9 x$ de $9 x (x^{2} - 5 x) + 9 x (4)$ .

$\frac{9 x (x^{2} - 5 x + 4)}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2} - 5 x + 4$ con el método AC.

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Paso 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 4, - 1$

Paso 3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{9 x ((x - 4) (x - 1))}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + 11 x + 18$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $18$ y cuya suma es $11$ .

$2, 9$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2}) - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 5.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2}) + 4 x (- 2 x) - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 5.1.3

Factoriza $4 x$ de $- 32 x$ .

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2}) + 4 x (- 2 x) + 4 x (- 8)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 5.1.4

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2 x)$ .

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2} - 2 x) + 4 x (- 8)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 5.1.5

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2} - 2 x) + 4 x (- 8)$ .

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2} - 2 x - 8)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 5.2

Factoriza $x^{2} - 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 5.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 5.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x ((x - 4) (x + 2))} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x (x - 4)$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $x (x - 4)$ de $9 x (x - 4) (x - 1)$ .

$\frac{x (x - 4) ((9) (x - 1))}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 6.1.2

Factoriza $x (x - 4)$ de $4 x (x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{x (x - 4) ((9) (x - 1))}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x - 4) ((4) (x + 2))} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{x (x - 4) ((9) (x - 1))}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x - 4) ((4) (x + 2))} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 6.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(9) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x + 9$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $x + 9$ de $(x + 2) (x + 9)$ .

$\frac{(9) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 9) (x + 2)}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(9) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 9) (x + 2)}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$(9) (x - 1) \cdot \frac{x + 2}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 6.3

Combina $\frac{x + 2}{(4) (x + 2)}$ y $9$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} (x - 1) \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $x - 1$ de $\frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} (x - 1)$ .

$(x - 1) \frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común.

$(x - 1) \frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{x + 3}$

Paso 6.5

Multiplica $\frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)}$ por $\frac{(3 + x) (3 - x)}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 9 ((3 + x) (3 - x))}{(4) (x + 2) (x + 3)}$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 6.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) \cdot 9 ((3 + x) (3 - x))}{4 (x + 2) (x + 3)}$

Paso 6.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 ((3 + x) (3 - x))}{(4) (x + 3)}$

Paso 6.7

Cancela el factor común de $3 + x$ y $x + 3$ .

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Paso 6.7.1

Reordena los términos.

$\frac{9 ((x + 3) (3 - x))}{(4) (x + 3)}$

Paso 6.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{9 ((x + 3) (3 - x))}{4 (x + 3)}$

Paso 6.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9 (3 - x)}{4}$