Álgebra Ejemplos

${(x + 2)}^{2} + y^{2} \leq 9$

Paso 1

Resta ${(x + 2)}^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$y^{2} \leq 9 - {(x + 2)}^{2}$

Paso 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| y | \leq \sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}}$ .

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Paso 3.2.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$| y | \leq \sqrt{3^{2} - {(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = x + 2$ .

$| y | \leq \sqrt{(3 + x + 2) (3 - (x + 2))}$

Paso 3.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.1.3.1

Suma $3$ y $2$ .

$| y | \leq \sqrt{(x + 5) (3 - (x + 2))}$

Paso 3.2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | \leq \sqrt{(x + 5) (3 - x - 1 \cdot 2)}$

Paso 3.2.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$| y | \leq \sqrt{(x + 5) (3 - x - 2)}$

Paso 3.2.1.3.4

Resta $2$ de $3$ .

$| y | \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Paso 4

Escribe $| y | \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ como una función definida por partes.

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Paso 4.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$y \geq 0$

Paso 4.2

En la parte donde $y$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Paso 4.3

Obtén el dominio de $y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ y obtén la intersección con $y \geq 0$ .

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Paso 4.3.1

Obtén el dominio de $y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Establece el radicando en $\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(x + 5) (- x + 1) \geq 0$

Paso 4.3.1.2

Resuelve $y$

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Paso 4.3.1.2.1

Simplifica $(x + 5) (- x + 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.1

Expande $(x + 5) (- x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (- x + 1) + 5 (- x + 1) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (- x) + x \cdot 1 + 5 (- x + 1) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (- x) + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x \cdot x + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$- x^{2} + x + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- x^{2} + x - 5 x + 5 \cdot 1 \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.1.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$- x^{2} + x - 5 x + 5 \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.2

Resta $5 x$ de $x$ .

$- x^{2} - 4 x + 5 \geq 0$

Paso 4.3.1.2.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Paso 4.3.1.2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1.2.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} - 4 x + 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

Paso 4.3.1.2.3.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 x$ .

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

Paso 4.3.1.2.3.1.3

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Paso 4.3.1.2.3.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Paso 4.3.1.2.3.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Paso 4.3.1.2.3.2

Factoriza.

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Paso 4.3.1.2.3.2.1

Factoriza $x^{2} + 4 x - 5$ con el método AC.

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Paso 4.3.1.2.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $4$ .

$- 1, 5$

Paso 4.3.1.2.3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Paso 4.3.1.2.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

Paso 4.3.1.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 4.3.1.2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1.2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.3.1.2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4.3.1.2.6

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.6.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 4.3.1.2.6.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 4.3.1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 1) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 5$

Paso 4.3.1.2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Paso 4.3.1.2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.3.1.2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 4.3.1.2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$((- 8) + 5) (- (- 8) + 1) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.9.1.3

$- 27$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.3.1.2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 4.3.1.2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) + 5) (- (0) + 1) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.9.2.3

$5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 4.3.1.2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 4.3.1.2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$((4) + 5) (- (4) + 1) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.9.3.3

$- 27$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.3.1.2.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 4.3.1.2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 5 \leq x \leq 1$

Paso 4.3.1.3

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 5, 1]$

Paso 4.3.2

Obtén la intersección de $y \geq 0$ y $[- 5, 1]$ .

$0 \leq y \leq 1$

Paso 4.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$y < 0$

Paso 4.5

En la parte donde $y$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Paso 4.6

Obtén el dominio de $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ y obtén la intersección con $y < 0$ .

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Paso 4.6.1

Obtén el dominio de $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.1

Establece el radicando en $\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(x + 5) (- x + 1) \geq 0$

Paso 4.6.1.2

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.1

Simplifica $(x + 5) (- x + 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.1.1

Expande $(x + 5) (- x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (- x + 1) + 5 (- x + 1) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (- x) + x \cdot 1 + 5 (- x + 1) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (- x) + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x \cdot x + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$- x^{2} + x + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- x^{2} + x - 5 x + 5 \cdot 1 \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2.1.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$- x^{2} + x - 5 x + 5 \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2.2

Resta $5 x$ de $x$ .

$- x^{2} - 4 x + 5 \geq 0$

Paso 4.6.1.2.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Paso 4.6.1.2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} - 4 x + 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

Paso 4.6.1.2.3.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 x$ .

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

Paso 4.6.1.2.3.1.3

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Paso 4.6.1.2.3.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Paso 4.6.1.2.3.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Paso 4.6.1.2.3.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.3.2.1

Factoriza $x^{2} + 4 x - 5$ con el método AC.

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Paso 4.6.1.2.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $4$ .

$- 1, 5$

Paso 4.6.1.2.3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Paso 4.6.1.2.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

Paso 4.6.1.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 4.6.1.2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.6.1.2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4.6.1.2.6

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.6.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 4.6.1.2.6.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 4.6.1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 1) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 5$

Paso 4.6.1.2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Paso 4.6.1.2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 4.6.1.2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$((- 8) + 5) (- (- 8) + 1) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.9.1.3

$- 27$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.6.1.2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 4.6.1.2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) + 5) (- (0) + 1) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.9.2.3

$5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 4.6.1.2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 4.6.1.2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$((4) + 5) (- (4) + 1) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.9.3.3

$- 27$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.6.1.2.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 4.6.1.2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 5 \leq x \leq 1$

Paso 4.6.1.3

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 5, 1]$

Paso 4.6.2

Obtén la intersección de $y < 0$ y $[- 5, 1]$ .

$- 5 \leq y < 0$

Paso 4.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)} & 0 \leq y \leq 1 \\ - y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)} & - 5 \leq y < 0 \end{cases}$

Paso 5

Obtén la intersección de $y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ y $0 \leq y \leq 1$ .

$0 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Paso 6

Resuelve $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ cuando $- 5 \leq y < 0$ .

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Paso 6.1

Divide cada término en $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Divide cada término de $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- y}{- 1} \geq \frac{\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}}{- 1}$

Paso 6.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} \geq \frac{\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}}{- 1}$

Paso 6.1.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y \geq \frac{\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}}{- 1}$

Paso 6.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}}{- 1}$ .

$y \geq - 1 \cdot \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Paso 6.1.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ como $- \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ .

$y \geq - \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Paso 6.2

Obtén la intersección de $y \geq - \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ y $- 5 \leq y < 0$ .

No hay solución

Paso 7

Obtén la unión de las soluciones.

$0 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Paso 8