Álgebra Ejemplos

$4^{a^{2}} = 16^{2 a} \cdot 64^{2 - a}$

Paso 1

Reescribe $16$ como $2^{4}$ .

$4^{a^{2}} = {(2^{4})}^{2 a} \cdot 64^{2 - a}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(2^{4})}^{2 a}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{a^{2}} = 2^{4 (2 a)} \cdot 64^{2 - a}$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$4^{a^{2}} = 2^{8 a} \cdot 64^{2 - a}$

Paso 3

Reescribe $64$ como $2^{6}$ .

$4^{a^{2}} = 2^{8 a} \cdot {(2^{6})}^{2 - a}$

Paso 4

Multiplica los exponentes en ${(2^{6})}^{2 - a}$ .

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Paso 4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{a^{2}} = 2^{8 a} \cdot 2^{6 (2 - a)}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4^{a^{2}} = 2^{8 a} \cdot 2^{6 \cdot 2 + 6 (- a)}$

Paso 4.3

Multiplica $6$ por $2$ .

$4^{a^{2}} = 2^{8 a} \cdot 2^{12 + 6 (- a)}$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$4^{a^{2}} = 2^{8 a} \cdot 2^{12 - 6 a}$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4^{a^{2}} = 2^{8 a + 12 - 6 a}$

Paso 6

Resta $6 a$ de $8 a$ .

$4^{a^{2}} = 2^{2 a + 12}$

Paso 7

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{2 a^{2}} = 2^{2 a + 12}$

Paso 8

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$2 a^{2} = 2 a + 12$

Paso 9

Resuelve $a$

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Paso 9.1

Resta $2 a$ de ambos lados de la ecuación.

$2 a^{2} - 2 a = 12$

Paso 9.2

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$2 a^{2} - 2 a - 12 = 0$

Paso 9.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.3.1

Factoriza $2$ de $2 a^{2} - 2 a - 12$ .

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Paso 9.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 a^{2}$ .

$2 (a^{2}) - 2 a - 12 = 0$

Paso 9.3.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 a$ .

$2 (a^{2}) + 2 (- a) - 12 = 0$

Paso 9.3.1.3

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$2 (a^{2}) + 2 (- a) + 2 (- 6) = 0$

Paso 9.3.1.4

Factoriza $2$ de $2 (a^{2}) + 2 (- a)$ .

$2 (a^{2} - a) + 2 (- 6) = 0$

Paso 9.3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (a^{2} - a) + 2 (- 6)$ .

$2 (a^{2} - a - 6) = 0$

Paso 9.3.2

Factoriza.

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $a^{2} - a - 6$ con el método AC.

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Paso 9.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 9.3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((a - 3) (a + 2)) = 0$

Paso 9.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (a - 3) (a + 2) = 0$

Paso 9.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$a - 3 = 0$

$a + 2 = 0$

Paso 9.5

Establece $a - 3$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 9.5.1

Establece $a - 3$ igual a $0$ .

$a - 3 = 0$

Paso 9.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$a = 3$

Paso 9.6

Establece $a + 2$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 9.6.1

Establece $a + 2$ igual a $0$ .

$a + 2 = 0$

Paso 9.6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$a = - 2$

Paso 9.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (a - 3) (a + 2) = 0$ verdadera.

$a = 3, - 2$