Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 3^{2}}{x^{2} - 9}$

Paso 1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 1.3

Reescribe el polinomio.

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{x^{2} - 9}$

Paso 1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$f (x) = \frac{{(x + 3)}^{2}}{x^{2} - 9}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 9$ .

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (x) = \frac{{(x + 3)}^{2}}{x^{2} - 3^{2}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$f (x) = \frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 3

Cancela el factor común de ${(x + 3)}^{2}$ y $x + 3$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x + 3$ de ${(x + 3)}^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 3}$

Paso 4

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$x + 3$

Paso 5

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a $0$ , resuelve y vuelve a sustituir por $\frac{x + 3}{x - 3}$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 5.3

Sustituye $- 3$ por $x$ en $\frac{x + 3}{x - 3}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Sustituye $- 3$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$\frac{- 3 + 3}{- 3 - 3}$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3 + 3$ y $- 3 - 3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1) + 3}{- 3 - 3}$

Paso 5.3.2.1.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 1 + 3 \cdot 1}{- 3 - 3}$

Paso 5.3.2.1.3

Factoriza $3$ de $3 \cdot - 1 + 3 \cdot 1$ .

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{- 3 - 3}$

Paso 5.3.2.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 (- 1) - 3}$

Paso 5.3.2.1.4.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 1}$

Paso 5.3.2.1.4.3

Factoriza $3$ de $3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 1$ .

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 \cdot (- 1 - 1)}$

Paso 5.3.2.1.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 \cdot (- 1 - 1)}$

Paso 5.3.2.1.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 + 1}{- 1 - 1}$

Paso 5.3.2.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{- 1 - 1}$

Paso 5.3.2.3

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{0}{- 2}$

Paso 5.3.2.4

Divide $0$ por $- 2$ .

$0$

Paso 5.4

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a $0$ .

$(- 3, 0)$

Paso 6