Álgebra Ejemplos

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$

Paso 1

Reemplaza $<$ por $=$ $| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$ .

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | = 5 | x - 1 |$

Paso 2

Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Paso 3

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Paso 4

Resuelve $(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$ en $x$ .

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Paso 4.1

Simplifica $(- 2 x + 9) (x - 1)$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

Paso 4.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

Paso 4.1.3

Expande $(- 2 x + 9) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

Paso 4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

Paso 4.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Paso 4.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Paso 4.1.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Paso 4.1.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Paso 4.1.4.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = 5 (x - 1)$

Paso 4.1.4.2

Suma $2 x$ y $9 x$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 (x - 1)$

Paso 4.2

Simplifica $5 (x - 1)$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x + 5 \cdot - 1$

Paso 4.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x - 5$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $5 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 - 5 x = - 5$

Paso 4.3.2

Resta $5 x$ de $11 x$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 = - 5$

Paso 4.4

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 + 5 = 0$

Paso 4.5

Suma $- 9$ y $5$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Paso 4.6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.6.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{2} + 6 x - 4$ .

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Paso 4.6.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Paso 4.6.1.2

Factoriza $- 2$ de $6 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 4 = 0$

Paso 4.6.1.3

Factoriza $- 2$ de $- 4$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Paso 4.6.1.4

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 3 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Paso 4.6.1.5

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 (2)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Paso 4.6.2

Factoriza.

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Paso 4.6.2.1

Factoriza $x^{2} - 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 4.6.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 4.6.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 2 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Paso 4.6.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$

Paso 4.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 4.8

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.8.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.8.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.9

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.9.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.9.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2, 1$

Paso 5

Resuelve $(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$ en $x$ .

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Paso 5.1

Simplifica $(- 2 x + 9) (x - 1)$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Paso 5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Paso 5.1.3

Expande $(- 2 x + 9) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Paso 5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Paso 5.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Paso 5.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Paso 5.1.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Paso 5.1.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Paso 5.1.4.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = - 5 (x - 1)$

Paso 5.1.4.2

Suma $2 x$ y $9 x$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 (x - 1)$

Paso 5.2

Simplifica $- 5 (x - 1)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x - 5 \cdot - 1$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x + 5$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Suma $5 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 + 5 x = 5$

Paso 5.3.2

Suma $11 x$ y $5 x$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 = 5$

Paso 5.4

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 - 5 = 0$

Paso 5.5

Resta $5$ de $- 9$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

Paso 5.6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.6.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{2} + 16 x - 14$ .

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Paso 5.6.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

Paso 5.6.1.2

Factoriza $- 2$ de $16 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 14 = 0$

Paso 5.6.1.3

Factoriza $- 2$ de $- 14$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

Paso 5.6.1.4

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 8 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

Paso 5.6.1.5

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 (7)$ .

$- 2 (x^{2} - 8 x + 7) = 0$

Paso 5.6.2

Factoriza.

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Paso 5.6.2.1

Factoriza $x^{2} - 8 x + 7$ con el método AC.

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Paso 5.6.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $7$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 7, - 1$

Paso 5.6.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 2 ((x - 7) (x - 1)) = 0$

Paso 5.6.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$

Paso 5.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 5.8

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.8.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 5.8.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 5.9

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.9.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.9.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 7, 1$

Paso 6

Enumera todas las soluciones.

$x = 2, 1, 7, 1$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$| (- 2 \cdot 0 + 9) ((0) - 1) | < 5 | (0) - 1 |$

Paso 8.1.3

$9$ del lado izquierdo no es menor que $5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.5$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $1.5$ en la desigualdad original.

$| (- 2 \cdot 1.5 + 9) ((1.5) - 1) | < 5 | (1.5) - 1 |$

Paso 8.2.3

$3$ del lado izquierdo no es menor que $2.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$| (- 2 \cdot 4 + 9) ((4) - 1) | < 5 | (4) - 1 |$

Paso 8.3.3

$3$ del lado izquierdo es menor que $15$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 8.4.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$| (- 2 \cdot 10 + 9) ((10) - 1) | < 5 | (10) - 1 |$

Paso 8.4.3

$99$ del lado izquierdo no es menor que $45$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Falso

$2 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

$x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Falso

$2 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$2 < x < 7$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$2 < x < 7$

Notación de intervalo:

$(2, 7)$

Paso 11