Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 3 x - 28}{x^{2} + 4 x + 4} \div \frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 5 x - 14}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} + 3 x - 28}{x^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + 3 x - 28$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 28$ y cuya suma es $3$ .

$- 4, 7$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{x^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

Paso 3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 3.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} - 5 x - 14$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 14$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 7, 2$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{(x - 7) (x + 2)}{x^{2} - 49}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{(x - 7) (x + 2)}{x^{2} - 7^{2}}$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{(x - 7) (x + 2)}{(x + 7) (x - 7)}$

Paso 6

Combinar.

$\frac{(x - 4) (x + 7) ((x - 7) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} ((x + 7) (x - 7))}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 4) (x + 7) ((x - 7) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} ((x + 7) (x - 7))}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 4) ((x - 7) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 7)}$

Paso 8

Cancela el factor común de $x - 7$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 4) ((x - 7) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 7)}$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 9

Cancela el factor común de $x + 2$ y ${(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 9.1

Factoriza $x + 2$ de $(x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.1

Factoriza $x + 2$ de ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 4)}{(x + 2) (x + 2)}$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) (x - 4)}{(x + 2) (x + 2)}$

Paso 9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 4}{x + 2}$