Álgebra Ejemplos

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $x + 2 \sqrt{x - 1} = y$ .

$x + 2 \sqrt{x - 1} = y$

Paso 2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{x - 1} = y - x$

Paso 3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Paso 4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Paso 4.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Paso 4.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

Paso 4.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

Paso 4.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(x - 1)}^{1} = {(y - x)}^{2}$

Paso 4.2.1.4

Simplifica.

$4 (x - 1) = {(y - x)}^{2}$

Paso 4.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 \cdot - 1 = {(y - x)}^{2}$

Paso 4.2.1.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 x - 4 = {(y - x)}^{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica ${(y - x)}^{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe ${(y - x)}^{2}$ como $(y - x) (y - x)$ .

$4 x - 4 = (y - x) (y - x)$

Paso 4.3.1.2

Expande $(y - x) (y - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x - 4 = y (y - x) - x (y - x)$

Paso 4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x (y - x)$

Paso 4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x y - x (- x)$

Paso 4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$4 x - 4 = y^{2} + y (- x) - x y - x (- x)$

Paso 4.3.1.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - x (- x)$

Paso 4.3.1.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Paso 4.3.1.3.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Paso 4.3.1.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Paso 4.3.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + 1 x^{2}$

Paso 4.3.1.3.1.6

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + x^{2}$

Paso 4.3.1.3.2

Resta $x y$ de $- y x$ .

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Paso 4.3.1.3.2.1

Mueve $y$ .

$4 x - 4 = y^{2} - x y - x y + x^{2}$

Paso 4.3.1.3.2.2

Resta $x y$ de $- x y$ .

$4 x - 4 = y^{2} - 2 x y + x^{2}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} = 4 x - 4$

Paso 5.2

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x = - 4$

Paso 5.3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Paso 5.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2 y - 4$ y $c = y^{2} + 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- (- 2 y - 4) \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- (- 2 y) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.4

Agrega paréntesis.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.5

Sea $u = 1 \cdot (y^{2} + 4)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $1 \cdot (y^{2} + 4)$ .

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Paso 5.6.1.5.1

Reescribe ${(- 2 y - 4)}^{2}$ como $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{(- 2 y - 4) (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.5.2

Expande $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.6.1.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 4) - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.6.1.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.5.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.1.5.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.5.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.5.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.5.3.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.5.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.5.3.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.5.3.2

Suma $8 y$ y $8 y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.6

Factoriza $4$ de $4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u$ .

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Paso 5.6.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.6.2

Factoriza $4$ de $16 y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.6.3

Factoriza $4$ de $16$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.6.4

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.6.5

Factoriza $4$ de $4 (y^{2}) + 4 (4 y)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.6.6

Factoriza $4$ de $4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.6.7

Factoriza $4$ de $4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 \cdot (y^{2} + 4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (1 \cdot (y^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.8

Simplifica.

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Paso 5.6.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1.8.1.1

Multiplica $y^{2} + 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.8.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.8.2

Combina los términos opuestos en $y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4$ .

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Paso 5.6.1.8.2.1

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.8.2.2

Suma $4 y + 4$ y $0$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.8.2.3

Resta $4$ de $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 0)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.8.2.4

Suma $4 y$ y $0$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 y)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.9

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{16 y}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.10

Reescribe $16 y$ como ${(2^{2})}^{2} y$ .

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Paso 5.6.1.10.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4^{2} y}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.10.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} y}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 y + 4 \pm 2^{2} \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2}$

Paso 5.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$