Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} = 4$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$\sin^{2} (x), 1$

Paso 1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$\sin^{2} (x)$

Paso 2

Multiplica cada término en $\frac{1}{\sin^{2} (x)} = 4$ por $\sin^{2} (x)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{\sin^{2} (x)} = 4$ por $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) = 4 \sin^{2} (x)$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $\sin^{2} (x)$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) = 4 \sin^{2} (x)$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = 4 \sin^{2} (x)$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $4 \sin^{2} (x) = 1$ .

$4 \sin^{2} (x) = 1$

Paso 3.2

Divide cada término en $4 \sin^{2} (x) = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $4 \sin^{2} (x) = 1$ por $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Paso 3.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Paso 3.4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 3.4.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sin (x) = \pm \frac{1}{2}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Paso 4

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 5

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 5.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Paso 5.4

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 5.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.4.2

Combina fracciones.

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Paso 5.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 5.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 5.4.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 5.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 5.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 6.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 6.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 6.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 6.4.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 6.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 6.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 6.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Paso 6.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 6.6.3

Combina fracciones.

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Paso 6.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 6.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 6.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.4.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Paso 6.6.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Paso 6.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 6.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida las soluciones.

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Paso 8.1

Consolida $\frac{π}{6} + 2 π n$ y $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8.2

Consolida $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ y $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$