Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 x + 12}{x}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 x + 12}{x}$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $2 x + 12$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x) + 12}{x}$

Paso 1.2.2

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 x + 2 \cdot 6}{x}$

Paso 1.2.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 6$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x + 6)}{x}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 2 x, x$

Paso 2.2

Since $x^{2}, 2 x, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 2, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}, x^{1}$ .

Paso 2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.5

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 2.6

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.7

El MCM de $1, 2, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 2.8

Los factores para $x^{2}$ son $x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocurre $2$ veces.

Paso 2.9

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.10

El MCM de $x^{2}, x^{1}, x^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x$

Paso 2.11

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2}$

Paso 2.12

El MCM para $x^{2}, 2 x, x$ es la parte numérica $2$ multiplicada por la parte variable.

$2 x^{2}$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x + 6)}{x}$ por $2 x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x + 6)}{x}$ por $2 x^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} x^{2} = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.2

Combina $2$ y $\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 ((x - 3) (x + 2))}{x^{2}} x^{2} = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 ((x - 3) (x + 2))}{x^{2}} x^{2} = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$2 ((x - 3) (x + 2)) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.2.2

Expande $(x - 3) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x (x + 2) - 3 (x + 2)) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2)) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 (x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.2.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3 x - 6) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.2.3.2

Resta $3 x$ de $2 x$ .

$2 (x^{2} - x - 6) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 6 = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.2.5

Simplifica.

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 6 = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 2 \frac{x - 6}{2 x} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 2 \frac{x - 6}{2 (x)} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 2 \frac{x - 6}{2 x} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{x} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.3.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{x} (x \cdot x) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.3.1.3.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{x} (x \cdot x) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.3.1.3.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = (x - 6) x + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x \cdot x - 6 x + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Paso 3.3.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 2 \frac{2 (x + 6)}{x} x^{2}$

Paso 3.3.1.7

Multiplica $2 \frac{2 (x + 6)}{x}$ .

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Paso 3.3.1.7.1

Combina $2$ y $\frac{2 (x + 6)}{x}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{2 (2 (x + 6))}{x} x^{2}$

Paso 3.3.1.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{4 (x + 6)}{x} x^{2}$

Paso 3.3.1.8

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1.8.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{4 (x + 6)}{x} (x \cdot x)$

Paso 3.3.1.8.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{4 (x + 6)}{x} (x \cdot x)$

Paso 3.3.1.8.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 (x + 6) x$

Paso 3.3.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + (4 x + 4 \cdot 6) x$

Paso 3.3.1.10

Multiplica $4$ por $6$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + (4 x + 24) x$

Paso 3.3.1.11

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 x \cdot x + 24 x$

Paso 3.3.1.12

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.12.1

Mueve $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 (x \cdot x) + 24 x$

Paso 3.3.1.12.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 x^{2} + 24 x$

Paso 3.3.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.2.1

Suma $x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 5 x^{2} - 6 x + 24 x$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 6 x$ y $24 x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 5 x^{2} + 18 x$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $5 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 2 x - 12 - 5 x^{2} = 18 x$

Paso 4.1.2

Resta $18 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 2 x - 12 - 5 x^{2} - 18 x = 0$

Paso 4.1.3

Resta $5 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x - 12 - 18 x = 0$

Paso 4.1.4

Resta $18 x$ de $- 2 x$ .

$- 3 x^{2} - 20 x - 12 = 0$

Paso 4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2} - 20 x - 12$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) - 20 x - 12 = 0$

Paso 4.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 20 x$ .

$- (3 x^{2}) - (20 x) - 12 = 0$

Paso 4.2.1.3

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$- (3 x^{2}) - (20 x) - 1 \cdot 12 = 0$

Paso 4.2.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (20 x)$ .

$- (3 x^{2} + 20 x) - 1 \cdot 12 = 0$

Paso 4.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2} + 20 x) - 1 (12)$ .

$- (3 x^{2} + 20 x + 12) = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 12 = 36$ y cuya suma es $b = 20$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Factoriza $20$ de $20 x$ .

$- (3 x^{2} + 20 (x) + 12) = 0$

Paso 4.2.2.1.1.2

Reescribe $20$ como $2$ más $18$

$- (3 x^{2} + (2 + 18) x + 12) = 0$

Paso 4.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (3 x^{2} + 2 x + 18 x + 12) = 0$

Paso 4.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((3 x^{2} + 2 x) + 18 x + 12) = 0$

Paso 4.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (x (3 x + 2) + 6 (3 x + 2)) = 0$

Paso 4.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 2$ .

$- ((3 x + 2) (x + 6)) = 0$

Paso 4.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (3 x + 2) (x + 6) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 4.4

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.4.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 4.4.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 4.4.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 4.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 4.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 4.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 4.5

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 4.5.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (3 x + 2) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{2}{3}, - 6$