Álgebra Ejemplos

$\sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Sea $u = \sin (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sin (x)$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $u^{2} + u - 2$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$(\sin (x) - 1) (\sin (x) + 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 2 = 0$

Paso 3

Establece $\sin (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $\sin (x) - 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $\sin (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = 1$

Paso 3.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 3.2.4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 3.2.5

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 3.2.5.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.5.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 3.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.5.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 3.2.5.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 3.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.2.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Establece $\sin (x) + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\sin (x) + 2$ igual a $0$ .

$\sin (x) + 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\sin (x) + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 2$

Paso 4.2.2

El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 2$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\sin (x) - 1) (\sin (x) + 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$