Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{2 + 5 i} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{1}{2 + 5 i}$ por el conjugado de $2 + 5 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{1}{2 + 5 i} \cdot \frac{2 - 5 i}{2 - 5 i} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2

Multiplica.

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Paso 1.2.1

Combinar.

$\frac{1 (2 - 5 i)}{(2 + 5 i) (2 - 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.2

Multiplica $2 - 5 i$ por $1$ .

$\frac{2 - 5 i}{(2 + 5 i) (2 - 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.1

Expande $(2 + 5 i) (2 - 5 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 - 5 i}{2 (2 - 5 i) + 5 i (2 - 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 - 5 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 5 i) + 5 i (2 - 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 - 5 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (- 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 + 2 (- 5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (- 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 10 i + 5 i \cdot 2 + 5 i (- 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 10 i + 10 i + 5 i (- 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 10 i + 10 i - 25 i i} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 10 i + 10 i - 25 (i^{1} i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 10 i + 10 i - 25 (i^{1} i^{1})} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 - 5 i}{4 - 10 i + 10 i - 25 i^{1 + 1}} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 10 i + 10 i - 25 i^{2}} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.2.9

Suma $- 10 i$ y $10 i$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 + 0 - 25 i^{2}} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.2.10

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 25 i^{2}} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 25 \cdot - 1} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.3.2

Multiplica $- 25$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 + 25} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.2.3.4

Suma $4$ y $25$ .

$\frac{2 - 5 i}{29} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.3

Divide la fracción $\frac{2 - 5 i}{29}$ en dos fracciones.

$\frac{2}{29} + \frac{- 5 i}{29} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Paso 1.5

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{4 + 3 i}{3 - i}$ por el conjugado de $3 - i$ para hacer real el denominador.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - (\frac{4 + 3 i}{3 - i} \cdot \frac{3 + i}{3 + i})$

Paso 1.6

Multiplica.

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Paso 1.6.1

Combinar.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{(4 + 3 i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Paso 1.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.2.1

Expande $(4 + 3 i) (3 + i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.6.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{4 (3 + i) + 3 i (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Paso 1.6.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{4 \cdot 3 + 4 i + 3 i (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Paso 1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{4 \cdot 3 + 4 i + 3 i \cdot 3 + 3 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Paso 1.6.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 3 i \cdot 3 + 3 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Paso 1.6.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 9 i + 3 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Paso 1.6.2.2.1.3

Multiplica $3 i i$ .

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Paso 1.6.2.2.1.3.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 9 i + 3 (i^{1} i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Paso 1.6.2.2.1.3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 9 i + 3 (i^{1} i^{1})}{(3 - i) (3 + i)}$

Paso 1.6.2.2.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 9 i + 3 i^{1 + 1}}{(3 - i) (3 + i)}$

Paso 1.6.2.2.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 9 i + 3 i^{2}}{(3 - i) (3 + i)}$

Paso 1.6.2.2.1.4

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 9 i + 3 \cdot - 1}{(3 - i) (3 + i)}$

Paso 1.6.2.2.1.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 9 i - 3}{(3 - i) (3 + i)}$

Paso 1.6.2.2.2

Resta $3$ de $12$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 4 i + 9 i}{(3 - i) (3 + i)}$

Paso 1.6.2.2.3

Suma $4 i$ y $9 i$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{(3 - i) (3 + i)}$

Paso 1.6.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.6.3.1

Expande $(3 - i) (3 + i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.6.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{3 (3 + i) - i (3 + i)}$

Paso 1.6.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i (3 + i)}$

Paso 1.6.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i \cdot 3 - i i}$

Paso 1.6.3.2

Simplifica.

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Paso 1.6.3.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 3 i - i \cdot 3 - i i}$

Paso 1.6.3.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 3 i - 3 i - i i}$

Paso 1.6.3.2.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i)}$

Paso 1.6.3.2.4

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i^{1})}$

Paso 1.6.3.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{1 + 1}}$

Paso 1.6.3.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{2}}$

Paso 1.6.3.2.7

Resta $3 i$ de $3 i$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 0 - i^{2}}$

Paso 1.6.3.2.8

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 - i^{2}}$

Paso 1.6.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 - - 1}$

Paso 1.6.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 1}$

Paso 1.6.3.4

Suma $9$ y $1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{10}$

Paso 1.7

Divide la fracción $\frac{9 + 13 i}{10}$ en dos fracciones.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - (\frac{9}{10} + \frac{13 i}{10})$

Paso 1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9}{10} - \frac{13 i}{10}$

Paso 2

Para escribir $\frac{2}{29}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2}{29} \cdot \frac{10}{10} - \frac{9}{10} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{9}{10}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{29}{29}$ .

$\frac{2}{29} \cdot \frac{10}{10} - \frac{9}{10} \cdot \frac{29}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $290$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{2}{29}$ por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 \cdot 10}{29 \cdot 10} - \frac{9}{10} \cdot \frac{29}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Paso 4.2

Multiplica $29$ por $10$ .

$\frac{2 \cdot 10}{290} - \frac{9}{10} \cdot \frac{29}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{9}{10}$ por $\frac{29}{29}$ .

$\frac{2 \cdot 10}{290} - \frac{9 \cdot 29}{10 \cdot 29} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Paso 4.4

Multiplica $10$ por $29$ .

$\frac{2 \cdot 10}{290} - \frac{9 \cdot 29}{290} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \cdot 10 - 9 \cdot 29}{290} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{20 - 9 \cdot 29}{290} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Paso 6.2

Multiplica $- 9$ por $29$ .

$\frac{20 - 261}{290} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Paso 6.3

Resta $261$ de $20$ .

$\frac{- 241}{290} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{241}{290} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Paso 8

Para escribir $- \frac{5 i}{29}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{241}{290} - \frac{5 i}{29} \cdot \frac{10}{10} - \frac{13 i}{10}$

Paso 9

Para escribir $- \frac{13 i}{10}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{29}{29}$ .

$- \frac{241}{290} - \frac{5 i}{29} \cdot \frac{10}{10} - \frac{13 i}{10} \cdot \frac{29}{29}$

Paso 10

Escribe cada expresión con un denominador común de $290$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{5 i}{29}$ por $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{241}{290} - \frac{5 i \cdot 10}{29 \cdot 10} - \frac{13 i}{10} \cdot \frac{29}{29}$

Paso 10.2

Multiplica $29$ por $10$ .

$- \frac{241}{290} - \frac{5 i \cdot 10}{290} - \frac{13 i}{10} \cdot \frac{29}{29}$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{13 i}{10}$ por $\frac{29}{29}$ .

$- \frac{241}{290} - \frac{5 i \cdot 10}{290} - \frac{13 i \cdot 29}{10 \cdot 29}$

Paso 10.4

Multiplica $10$ por $29$ .

$- \frac{241}{290} - \frac{5 i \cdot 10}{290} - \frac{13 i \cdot 29}{290}$

Paso 11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{241}{290} + \frac{- 427 i}{290}$

Paso 12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{241}{290} - \frac{427 i}{290}$