Álgebra Ejemplos

$\sin (x) + \sqrt{3} \cos (x) = 1$

Paso 1

Resta $\sin (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3} \cos (x) = 1 - \sin (x)$

Paso 2

Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(\sqrt{3} \cos (x))}^{2} = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Paso 3

Simplifica ${(\sqrt{3} \cos (x))}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\sqrt{3} \cos (x)$ .

${\sqrt{3}}^{2} \cos^{2} (x) = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Paso 3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos^{2} (x) = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (x) = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3^{\frac{2}{2}} \cos^{2} (x) = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.1

Cancela el factor común.

$3^{\frac{2}{2}} \cos^{2} (x) = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Paso 3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$3^{1} \cos^{2} (x) = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Paso 3.2.5

Evalúa el exponente.

$3 \cos^{2} (x) = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Paso 4

Simplifica ${(1 - \sin (x))}^{2}$ .

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Paso 4.1

Reescribe ${(1 - \sin (x))}^{2}$ como $(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$3 \cos^{2} (x) = (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Paso 4.2

Expande $(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cos^{2} (x) = 1 (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cos^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cos^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $- \sin (x)$ por $1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Paso 4.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)$

Paso 4.3.1.4.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)$

Paso 4.3.1.4.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)$

Paso 4.3.1.4.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)$

Paso 4.3.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}$

Paso 4.3.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Paso 4.3.2

Resta $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Paso 5

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \cos^{2} (x) - 1 = - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Paso 5.2

Suma $2 \sin (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$3 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \sin (x) = \sin^{2} (x)$

Paso 5.3

Resta $\sin^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 6

Reemplaza $3 \cos^{2} (x)$ con $3 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \sin^{2} (x)) - 1 + 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 (- \sin^{2} (x)) - 1 + 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 7.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + 3 (- \sin^{2} (x)) - 1 + 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 7.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 - 3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 8.1

Resta $1$ de $3$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + 2 + 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 8.2

Resta $\sin^{2} (x)$ de $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 2 + 2 \sin (x) = 0$

Paso 9

Reordena el polinomio.

$- 4 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 2 = 0$

Paso 10

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} + 2 (u) + 2 = 0$

Paso 11

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 11.1

Factoriza $- 2$ de $- 4 u^{2} + 2 u + 2$ .

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Paso 11.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 4 u^{2}$ .

$- 2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 = 0$

Paso 11.1.2

Factoriza $- 2$ de $2 u$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) + 2 = 0$

Paso 11.1.3

Factoriza $- 2$ de $2$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Paso 11.1.4

Factoriza $- 2$ de $- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Paso 11.1.5

Factoriza $- 2$ de $- 2 (2 u^{2} - u) - 2 (- 1)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Paso 11.2

Factoriza.

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Paso 11.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 11.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 11.2.1.1.1

Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Paso 11.2.1.1.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$- 2 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Paso 11.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Paso 11.2.1.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Paso 11.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 11.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Paso 11.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- 2 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Paso 11.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$- 2 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Paso 11.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Paso 12

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Paso 13

Establece $2 u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 13.1

Establece $2 u + 1$ igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $2 u + 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 13.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u = - 1$

Paso 13.2.2

Divide cada término en $2 u = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 13.2.2.1

Divide cada término en $2 u = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 13.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 13.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Paso 13.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1}{2}$

Paso 14

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 14.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 14.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 15

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Paso 16

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Paso 17

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\sin (x) = 1$

Paso 18

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Paso 18.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 18.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 18.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 18.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 18.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 18.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 18.4.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 18.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 18.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 18.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 18.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 18.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 18.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 18.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Paso 18.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 18.6.3

Combina fracciones.

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Paso 18.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 18.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 18.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 18.6.4.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Paso 18.6.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Paso 18.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 18.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 19

Resuelve $x$ en $\sin (x) = 1$ .

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Paso 19.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 19.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 19.2.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 19.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 19.4

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 19.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 19.4.2

Combina fracciones.

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Paso 19.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 19.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 19.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 19.4.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 19.4.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 19.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 19.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 19.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 19.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 19.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 19.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 20

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 21

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 22

Verifica cada una de las soluciones mediante su sustitución en $\sin (x) + \sqrt{3} \cos (x) = 1$ y resolución.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$