Álgebra Ejemplos

$\frac{2 n + 1}{3 n + 1} \leq \frac{n - 1}{3 n + 1}$

Paso 1

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$2 n + 1 \leq n - 1$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan $n$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 2.1

Resta $n$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 n + 1 - n \leq - 1$

Paso 2.2

Resta $n$ de $2 n$ .

$n + 1 \leq - 1$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 3.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$n \leq - 1 - 1$

Paso 3.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$n \leq - 2$

Paso 4

Obtén el dominio de $\frac{n + 2}{3 n + 1}$ .

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{n + 2}{3 n + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 n + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $n$

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 n = - 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $3 n = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $3 n = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 n}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 n}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{- 1}{3}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$n = - \frac{1}{3}$

Paso 4.3

El dominio son todos los valores de $n$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$n < - 2$

$- 2 < n < - \frac{1}{3}$

$n > - \frac{1}{3}$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $n < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $n < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$n = - 4$

Paso 6.1.2

Reemplaza $n$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (- 4) + 1}{3 (- 4) + 1} \leq \frac{(- 4) - 1}{3 (- 4) + 1}$

Paso 6.1.3

$0.\overline{63}$ del lado izquierdo es mayor que $0.\overline{45}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < n < - \frac{1}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < n < - \frac{1}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$n = - 1$

Paso 6.2.2

Reemplaza $n$ con $- 1$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (- 1) + 1}{3 (- 1) + 1} \leq \frac{(- 1) - 1}{3 (- 1) + 1}$

Paso 6.2.3

$0.5$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $n > - \frac{1}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $n > - \frac{1}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$n = 0$

Paso 6.3.2

Reemplaza $n$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (0) + 1}{3 (0) + 1} \leq \frac{(0) - 1}{3 (0) + 1}$

Paso 6.3.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$n < - 2$ Falso

$- 2 < n < - \frac{1}{3}$ Verdadero

$n > - \frac{1}{3}$ Falso

$n < - 2$ Falso

$- 2 < n < - \frac{1}{3}$ Verdadero

$n > - \frac{1}{3}$ Falso

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 \leq n < - \frac{1}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 2 \leq n < - \frac{1}{3}$

Notación de intervalo:

$[- 2, - \frac{1}{3})$

Paso 9