Álgebra Ejemplos

$\log (x) - \log (5) = \log (2) - \log (x - 3)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2) - \log (x - 3)$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (\frac{2}{x - 3})$

Paso 3

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{x}{5} = \frac{2}{x - 3}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$x (x - 3) = 5 \cdot 2$

Paso 4.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica $x (x - 3)$ .

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Paso 4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 5 \cdot 2$

Paso 4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 = 5 \cdot 2$

Paso 4.2.1.2.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 3 x = 5 \cdot 2$

Paso 4.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$x^{2} - 3 x = 10$

Paso 4.2.3

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$

Paso 4.2.4

Factoriza $x^{2} - 3 x - 10$ con el método AC.

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Paso 4.2.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 5, 2$

Paso 4.2.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Paso 4.2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 4.2.6

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.6.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 4.2.6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 4.2.7

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.7.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.2.7.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 2$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (x) - \log (5) = \log (2) - \log (x - 3)$ sea verdadera.

$x = 5$