Álgebra Ejemplos

$\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}} \leq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 12 = 0$

$x + 5 = 0$

${(x - 3)}^{3} = 0$

Paso 2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 12$

Paso 3

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 4

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 12$

$x = - 5$

$x = 3$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = 12, - 5, 3$

Paso 8

Obtén el dominio de $\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 3)}^{3} = 0$

Paso 8.2

Resuelve $x$

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Paso 8.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 8.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$3 < x < 12$

$x > 12$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{((- 8) - 12) ((- 8) + 5)}{{((- 8) - 3)}^{3}} \leq 0$

Paso 10.1.3

$- 0.04507888$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{((0) - 12) ((0) + 5)}{{((0) - 3)}^{3}} \leq 0$

Paso 10.2.3

$2.\overline{2}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $3 < x < 12$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $3 < x < 12$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{((8) - 12) ((8) + 5)}{{((8) - 3)}^{3}} \leq 0$

Paso 10.3.3

$- 0.416$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 12$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 12$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 14$

Paso 10.4.2

Reemplaza $x$ con $14$ en la desigualdad original.

$\frac{((14) - 12) ((14) + 5)}{{((14) - 3)}^{3}} \leq 0$

Paso 10.4.3

$0.02854996$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 3$ Falso

$3 < x < 12$ Verdadero

$x > 12$ Falso

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 3$ Falso

$3 < x < 12$ Verdadero

$x > 12$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 5$ o $3 < x \leq 12$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - 5 or 3 < x \leq 12$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 5] \cup (3, 12]$

Paso 13