Álgebra Ejemplos

$(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$(u^{2} + 5 u - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Paso 3

Factoriza $u^{2} + 5 u - 36$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 36$ y cuya suma es $5$ .

$- 4, 9$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x^{2} - 4) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Paso 5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Paso 6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Paso 7

Factoriza.

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Paso 7.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ y cuya suma es $b = 9$ .

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Paso 7.1.1.1

Factoriza $9$ de $9 x$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 (x) - 5) = 0$

Paso 7.1.1.2

Reescribe $9$ como $- 1$ más $10$

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + (- 1 + 10) x - 5) = 0$

Paso 7.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x^{2} - 1 x) + 10 x - 5) = 0$

Paso 7.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) = 0$

Paso 7.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x - 1) (x + 5)) = 0$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 9

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 9.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 10

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 10.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 11

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{2} + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 9$

Paso 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Paso 11.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Paso 11.2.3.1

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Paso 11.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Paso 11.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Paso 11.2.3.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Paso 11.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Paso 11.2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Paso 11.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 i$

Paso 11.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 i$

Paso 11.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 i, - 3 i$

Paso 12

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 12.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 12.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 12.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 12.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 12.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 13

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 13.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2, 3 i, - 3 i, \frac{1}{2}, - 5$