Álgebra Ejemplos

$\frac{4 x^{2} - 2 x}{x^{2} + 5 x + 4} \div \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 1}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{4 x^{2} - 2 x}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x}$

Paso 2

Factoriza $2 x$ de $4 x^{2} - 2 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2 x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x) - 2 x}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x}$

Paso 2.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (- 1)}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x}$

Paso 2.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (2 x) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{2 x (2 x - 1)}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} + 5 x + 4$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 x (2 x - 1)}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $2 x$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x (2 x - 1)}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x}$

Paso 4.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x - 1}{(x + 1) (x + 4)} (x^{2} + 2 x + 1)$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{2 x - 1}{(x + 1) (x + 4)}$ por $x^{2} + 2 x + 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x^{2} + 2 x + 1)}{(x + 1) (x + 4)}$

Paso 5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x^{2} + 2 x + 1^{2})}{(x + 1) (x + 4)}$

Paso 5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 5.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(2 x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{(x + 1) (x + 4)}$

Paso 5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x + 4)}$

Paso 6

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ y $x + 1$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x + 1$ de $(2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) ((2 x - 1) (x + 1))}{(x + 1) (x + 4)}$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) ((2 x - 1) (x + 1))}{(x + 1) (x + 4)}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x - 1) (x + 1)}{x + 4}$