Álgebra Ejemplos

$y^{2} - 6 y + 8 x = 15$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 y + 8 x = 15 - y^{2}$

Paso 1.2

Suma $6 y$ a ambos lados de la ecuación.

$8 x = 15 - y^{2} + 6 y$

Paso 2

Divide cada término en $8 x = 15 - y^{2} + 6 y$ por $8$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $8 x = 15 - y^{2} + 6 y$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{15}{8} + \frac{- y^{2}}{8} + \frac{6 y}{8}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{15}{8} + \frac{- y^{2}}{8} + \frac{6 y}{8}$

Paso 2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{15}{8} + \frac{- y^{2}}{8} + \frac{6 y}{8}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{15}{8} - \frac{y^{2}}{8} + \frac{6 y}{8}$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común de $6$ y $8$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6 y$ .

$x = \frac{15}{8} - \frac{y^{2}}{8} + \frac{2 (3 y)}{8}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$x = \frac{15}{8} - \frac{y^{2}}{8} + \frac{2 (3 y)}{2 (4)}$

Paso 2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{15}{8} - \frac{y^{2}}{8} + \frac{2 (3 y)}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{15}{8} - \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 3.1.1

Mueve $\frac{15}{8}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} + \frac{15}{8}$

Paso 3.1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} + \frac{15}{8}$ .

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Paso 3.1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = \frac{15}{8}$

Paso 3.1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 (- \frac{1}{8})}$

Paso 3.1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{8})}$

Paso 3.1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 3.1.2.3.2.2.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{8})}$

Paso 3.1.2.3.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = \frac{3}{4} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{8})})$

Paso 3.1.2.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{3}{4} (- \frac{1}{\frac{2}{8}})$

Paso 3.1.2.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 3.1.2.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{3}{4} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}})$

Paso 3.1.2.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{3}{4} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}})$

Paso 3.1.2.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3}{4} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}})$

Paso 3.1.2.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{4} (- \frac{1}{\frac{1}{4}})$

Paso 3.1.2.3.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{3}{4} (- (1 \cdot 4))$

Paso 3.1.2.3.2.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.2.3.2.6.1

Factoriza $4$ de $- (1 \cdot 4)$ .

$d = \frac{3}{4} (4 (- 1 \cdot (1)))$

Paso 3.1.2.3.2.6.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3}{4} (4 (- 1 \cdot (1)))$

Paso 3.1.2.3.2.6.3

Reescribe la expresión.

$d = 3 (- 1 \cdot (1))$

Paso 3.1.2.3.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$d = 3 \cdot - 1$

Paso 3.1.2.3.2.8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$d = - 3$

Paso 3.1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Paso 3.1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Paso 3.1.2.4.2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Paso 3.1.2.4.2.1.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Paso 3.1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{- 4 (\frac{1}{8})}$

Paso 3.1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{8}$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{- 4}{8}}$

Paso 3.1.2.4.2.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1.2.4.2.1.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $8$ .

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Paso 3.1.2.4.2.1.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Paso 3.1.2.4.2.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.4.2.1.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 3.1.2.4.2.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 3.1.2.4.2.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{- 1}{2}}$

Paso 3.1.2.4.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.1.2.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{15}{8} - (\frac{9}{16} (- 1 \cdot 2))$

Paso 3.1.2.4.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.4.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$e = \frac{15}{8} - (\frac{9}{2 (8)} (- 1 \cdot 2))$

Paso 3.1.2.4.2.1.5.2

Factoriza $2$ de $- 1 \cdot 2$ .

$e = \frac{15}{8} - (\frac{9}{2 (8)} (2 \cdot - 1))$

Paso 3.1.2.4.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$e = \frac{15}{8} - (\frac{9}{2 \cdot 8} (2 \cdot - 1))$

Paso 3.1.2.4.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$e = \frac{15}{8} - (\frac{9}{8} \cdot - 1)$

Paso 3.1.2.4.2.1.6

Combina $\frac{9}{8}$ y $- 1$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{9 \cdot - 1}{8}$

Paso 3.1.2.4.2.1.7

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{- 9}{8}$

Paso 3.1.2.4.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{15}{8} - - \frac{9}{8}$

Paso 3.1.2.4.2.1.9

Multiplica $- - \frac{9}{8}$ .

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Paso 3.1.2.4.2.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{15}{8} + 1 (\frac{9}{8})$

Paso 3.1.2.4.2.1.9.2

Multiplica $\frac{9}{8}$ por $1$ .

$e = \frac{15}{8} + \frac{9}{8}$

Paso 3.1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{15 + 9}{8}$

Paso 3.1.2.4.2.3

Suma $15$ y $9$ .

$e = \frac{24}{8}$

Paso 3.1.2.4.2.4

Divide $24$ por $8$ .

$e = 3$

Paso 3.1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{8} {(y - 3)}^{2} + 3$ .

$- \frac{1}{8} {(y - 3)}^{2} + 3$

Paso 3.1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - \frac{1}{8} \cdot {(y - 3)}^{2} + 3$

Paso 3.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$h = 3$

$k = 3$

Paso 3.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 3.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(3, 3)$

Paso 3.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 3.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 3.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Paso 3.5.3

Simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Paso 3.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Paso 3.5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Paso 3.5.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 3.5.3.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Paso 3.5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 3.5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 3.5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 3.5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 \cdot 2)$

Paso 3.5.3.5

Multiplica $- (1 \cdot 2)$ .

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Paso 3.5.3.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Paso 3.5.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2$

Paso 3.6

Obtén el foco.

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Paso 3.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 3.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, 3)$

Paso 3.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 3$

Paso 3.8

Obtén la directriz.

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Paso 3.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 3.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = 5$

Paso 3.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(3, 3)$

Foco: $(1, 3)$

Eje de simetría: $y = 3$

Directriz: $x = 5$

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(3, 3)$

Foco: $(1, 3)$

Eje de simetría: $y = 3$

Directriz: $x = 5$

Paso 4

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = 3 + 2 \sqrt{2 (- x + 3)}$ . En este caso, el punto es $(1, 7)$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 3 + 2 \sqrt{2 (- (1) + 3)}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 3 + 2 \sqrt{2 (- 1 + 3)}$

Paso 4.1.2.1.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$f (1) = 3 + 2 \sqrt{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (1) = 3 + 2 \sqrt{4}$

Paso 4.1.2.1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (1) = 3 + 2 \sqrt{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (1) = 3 + 2 \cdot 2$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (1) = 3 + 4$

Paso 4.1.2.2

Suma $3$ y $4$ .

$f (1) = 7$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $7$ .

$y = 7$

Paso 4.1.3

Convierte $7$ a decimal.

$= 7$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = 3 - 2 \sqrt{2 (- x + 3)}$ . En este caso, el punto es $(1, - 1)$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 3 - 2 \sqrt{2 (- (1) + 3)}$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \sqrt{2 (- 1 + 3)}$

Paso 4.2.2.1.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$f (1) = 3 - 2 \sqrt{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (1) = 3 - 2 \sqrt{4}$

Paso 4.2.2.1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (1) = 3 - 2 \sqrt{2^{2}}$

Paso 4.2.2.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (1) = 3 - 2 \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.6

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (1) = 3 - 4$

Paso 4.2.2.2

Resta $4$ de $3$ .

$f (1) = - 1$

Paso 4.2.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 4.2.3

Convierte $- 1$ a decimal.

$= - 1$

Paso 4.3

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = 3 + 2 \sqrt{2 (- x + 3)}$ . En este caso, el punto es $(2, 5.82842712)$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 3 + 2 \sqrt{2 (- (2) + 3)}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (2) = 3 + 2 \sqrt{2 (- 2 + 3)}$

Paso 4.3.2.1.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$f (2) = 3 + 2 \sqrt{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (2) = 3 + 2 \sqrt{2}$

Paso 4.3.2.2

La respuesta final es $3 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 3 + 2 \sqrt{2}$

Paso 4.3.3

Convierte $3 + 2 \sqrt{2}$ a decimal.

$= 5.82842712$

Paso 4.4

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = 3 - 2 \sqrt{2 (- x + 3)}$ . En este caso, el punto es $(2, 0.17157287)$ .

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Paso 4.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 3 - 2 \sqrt{2 (- (2) + 3)}$

Paso 4.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (2) = 3 - 2 \sqrt{2 (- 2 + 3)}$

Paso 4.4.2.1.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$f (2) = 3 - 2 \sqrt{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (2) = 3 - 2 \sqrt{2}$

Paso 4.4.2.2

La respuesta final es $3 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 3 - 2 \sqrt{2}$

Paso 4.4.3

Convierte $3 - 2 \sqrt{2}$ a decimal.

$= 0.17157287$

Paso 4.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 7 \\ 1 & - 1 \\ 2 & 5.83 \\ 2 & 0.17 \\ 3 & 3 \end{array}$

Paso 5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(3, 3)$

Foco: $(1, 3)$

Eje de simetría: $y = 3$

Directriz: $x = 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 7 \\ 1 & - 1 \\ 2 & 5.83 \\ 2 & 0.17 \\ 3 & 3 \end{array}$

Paso 6