Álgebra Ejemplos

$3 e^{4 x} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

Paso 1

Reescribe $e^{4 x}$ como exponenciación.

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

Paso 2

Reescribe $e^{2 x}$ como exponenciación.

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 {(e^{x})}^{2} - 15 = 0$

Paso 3

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$

Paso 4

Resuelve $u$

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Paso 4.1

Sustituye $u = u^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$3 u^{2} - 9 u - 15 = 0$

$u = u^{2}$

Paso 4.2

Factoriza $3$ de $3 u^{2} - 9 u - 15$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $3$ de $3 u^{2}$ .

$3 (u^{2}) - 9 u - 15 = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza $3$ de $- 9 u$ .

$3 (u^{2}) + 3 (- 3 u) - 15 = 0$

Paso 4.2.3

Factoriza $3$ de $- 15$ .

$3 u^{2} + 3 (- 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

Paso 4.2.4

Factoriza $3$ de $3 u^{2} + 3 (- 3 u)$ .

$3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

Paso 4.2.5

Factoriza $3$ de $3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5$ .

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$

Paso 4.3

Divide cada término en $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $u^{2} - 3 u - 5$ por $1$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = \frac{0}{3}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = 0$

Paso 4.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 3$ y $c = - 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6

Simplifica.

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Paso 4.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Paso 4.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.1.3

Suma $9$ y $20$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$

Paso 4.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}, \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$

Paso 4.8

Sustituye el valor real de $u = u^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$u^{2} = 4.1925824$

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

Paso 4.9

Resuelve la primera ecuación para $u$ .

$u^{2} = 4.1925824$

Paso 4.10

Resuelve la ecuación en $u$ .

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Paso 4.10.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$u = \pm \sqrt{4.1925824}$

Paso 4.10.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.10.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$u = \sqrt{4.1925824}$

Paso 4.10.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$u = - \sqrt{4.1925824}$

Paso 4.10.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}$

Paso 4.11

Resuelve la segunda ecuación para $u$ .

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

Paso 4.12

Resuelve la ecuación en $u$ .

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Paso 4.12.1

Elimina los paréntesis.

$u^{2} = - 1.1925824$

Paso 4.12.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$u = \pm \sqrt{- 1.1925824}$

Paso 4.12.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 1.1925824}$ .

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Paso 4.12.3.1

Reescribe $- 1.1925824$ como $- 1 (1.1925824)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (1.1925824)}$

Paso 4.12.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (1.1925824)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$

Paso 4.12.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \pm i \sqrt{1.1925824}$

Paso 4.12.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.12.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$u = i \sqrt{1.1925824}$

Paso 4.12.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$u = - i \sqrt{1.1925824}$

Paso 4.12.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$u = i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

Paso 4.13

La solución a $3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$ es $u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

Paso 5

Sustituye $\sqrt{4.1925824}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$\sqrt{4.1925824} = e^{x}$

Paso 6

Resuelve $\sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = \sqrt{4.1925824}$ .

$e^{x} = \sqrt{4.1925824}$

Paso 6.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Paso 6.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Paso 6.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Paso 6.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Paso 7

Sustituye $- \sqrt{4.1925824}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$

Paso 8

Resuelve $- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$ .

$e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

Paso 8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \sqrt{4.1925824})$

Paso 8.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- \sqrt{4.1925824})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 8.4

No hay soluciones para $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

No hay solución

Paso 9

Sustituye $i \sqrt{1.1925824}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

Paso 10

Resuelve $i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$ .

$e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$

Paso 10.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Paso 10.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 10.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Paso 10.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Paso 10.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Paso 10.4

Expande el lado derecho.

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Paso 10.4.1

Reescribe $\ln (i \sqrt{1.1925824})$ como $\ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$

Paso 10.4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1.1925824}$ como ${1.1925824}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.4.3

Expande $\ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

Paso 10.4.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (1.1925824)}{2}$

Paso 10.5

Simplifica.

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Paso 10.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.5.1.1

Reescribe $\frac{\ln (1.1925824)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

Paso 10.5.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.5.1.3

Reescribe $1.1925824$ como ${1.09205421}^{2}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({({1.09205421}^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.5.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

Paso 10.5.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.5.1.5.1

Cancela el factor común.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

Paso 10.5.1.5.2

Reescribe la expresión.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{1})$

Paso 10.5.1.6

Evalúa el exponente.

$x = \ln (i) + \ln (1.09205421)$

Paso 10.5.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 1.09205421)$

Paso 10.5.3

Mueve $1.09205421$ a la izquierda de $i$ .

$x = \ln (1.09205421 i)$

Paso 11

Sustituye $- i \sqrt{1.1925824}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

Paso 12

Resuelve $- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

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Paso 12.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

Paso 12.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{1.1925824})$

Paso 12.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- i \sqrt{1.1925824})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 12.4

No hay soluciones para $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

No hay solución

Paso 13

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (\sqrt{4.1925824}), \ln (1.09205421 i)$