Álgebra Ejemplos

$\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} > \sqrt{3}$

Paso 1

Suma $\sqrt{c}$ a ambos lados de la desigualdad.

$\sqrt{c + 9} > \sqrt{3} + \sqrt{c}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{c + 9}}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{c + 9}$ como ${(c + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(c + 9)}^{1} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$c + 9 > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ como $(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ .

$c + 9 > (\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$c + 9 > \sqrt{3} (\sqrt{3} + \sqrt{c}) + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$c + 9 > \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$c + 9 > \sqrt{9} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Paso 3.3.1.3.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$c + 9 > \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Paso 3.3.1.3.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Paso 3.3.1.3.1.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Paso 3.3.1.3.1.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Paso 3.3.1.3.1.7

Multiplica $\sqrt{c} \sqrt{c}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.7.1

Eleva $\sqrt{c}$ a la potencia de $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} \sqrt{c}$

Paso 3.3.1.3.1.7.2

Eleva $\sqrt{c}$ a la potencia de $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} {\sqrt{c}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.8

Reescribe ${\sqrt{c}}^{2}$ como $c$ .

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Paso 3.3.1.3.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{c}$ como $c^{\frac{1}{2}}$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.8.4.1

Cancela el factor común.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.8.4.2

Reescribe la expresión.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.8.5

Simplifica.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $\sqrt{3 c}$ y $\sqrt{c \cdot 3}$ .

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Paso 3.3.1.3.2.1

Reordena $c$ y $3$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{3 \cdot c} + c$

Paso 3.3.1.3.2.2

Suma $\sqrt{3 c}$ y $\sqrt{3 \cdot c}$ .

$c + 9 > 3 + 2 \sqrt{3 c} + c$

Paso 4

Resuelve $2 \sqrt{3 c}$

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Paso 4.1

Reescribe para que $2 \sqrt{3 c}$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$3 + 2 \sqrt{3 c} + c < c + 9$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{3 c}$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 4.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 \sqrt{3 c} + c < c + 9 - 3$

Paso 4.2.2

Resta $c$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 \sqrt{3 c} < c + 9 - 3 - c$

Paso 4.2.3

Combina los términos opuestos en $c + 9 - 3 - c$ .

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Paso 4.2.3.1

Resta $c$ de $c$ .

$2 \sqrt{3 c} < 0 + 9 - 3$

Paso 4.2.3.2

Suma $0$ y $9$ .

$2 \sqrt{3 c} < 9 - 3$

Paso 4.2.4

Resta $3$ de $9$ .

$2 \sqrt{3 c} < 6$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(2 \sqrt{3 c})}^{2} < 6^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 c}$ como ${(3 c)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 c$ .

${(2 (3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}))}^{2} < 6^{2}$

Paso 6.2.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Paso 6.2.1.2.2

Aplica la regla del producto a $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Paso 6.2.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Paso 6.2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$4 \cdot 3^{1} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Paso 6.2.1.5

Evalúa el exponente.

$4 \cdot 3 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Paso 6.2.1.7

Multiplica los exponentes en ${(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

Paso 6.2.1.7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.7.2.1

Cancela el factor común.

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

Paso 6.2.1.7.2.2

Reescribe la expresión.

$12 c^{1} < 6^{2}$

Paso 6.2.1.8

Simplifica.

$12 c < 6^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$12 c < 36$

Paso 7

Divide cada término en $12 c < 36$ por $12$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $12 c < 36$ por $12$ .

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

Paso 7.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c < \frac{36}{12}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Divide $36$ por $12$ .

$c < 3$

Paso 8

Obtén el dominio de $\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} - \sqrt{3}$ .

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Paso 8.1

Establece el radicando en $\sqrt{c + 9}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$c + 9 \geq 0$

Paso 8.2

Resta $9$ de ambos lados de la desigualdad.

$c \geq - 9$

Paso 8.3

Establece el radicando en $\sqrt{c}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$c \geq 0$

Paso 8.4

El dominio son todos los valores de $c$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$c < 0$

$0 < c < 3$

$c > 3$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $c < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $c < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$c = - 2$

Paso 10.1.2

Reemplaza $c$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(- 2) + 9} - \sqrt{- 2} > \sqrt{3}$

Paso 10.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < c < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < c < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$c = 2$

Paso 10.2.2

Reemplaza $c$ con $2$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(2) + 9} - \sqrt{2} > \sqrt{3}$

Paso 10.2.3

$1.90241122$ del lado izquierdo es mayor que $1.7320508$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $c > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $c > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$c = 6$

Paso 10.3.2

Reemplaza $c$ con $6$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(6) + 9} - \sqrt{6} > \sqrt{3}$

Paso 10.3.3

$1.4234936$ del lado izquierdo no es mayor que $1.7320508$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$c < 0$ Falso

$0 < c < 3$ Verdadero

$c > 3$ Falso

$c < 0$ Falso

$0 < c < 3$ Verdadero

$c > 3$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < c < 3$

Paso 12