Álgebra Ejemplos

$y = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como ${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{y - 1}}{2^{y - 1}} + 2 = x$

Paso 2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2^{y - 1}} + 2 = x$

Paso 2.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{2^{y - 1}} = x - 2$

Paso 2.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2^{y - 1}$ .

$1 = 2^{y - 1} (x - 2)$

Paso 2.5

Reescribe la ecuación como $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ .

$2^{y - 1} (x - 2) = 1$

Paso 2.6

Divide cada término en $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ por $x - 2$ y simplifica.

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Paso 2.6.1

Divide cada término en $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ por $x - 2$ .

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Paso 2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Paso 2.6.2.1.2

Divide $2^{y - 1}$ por $1$ .

$2^{y - 1} = \frac{1}{x - 2}$

Paso 2.7

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Paso 2.8

Expande $\ln (2^{y - 1})$ ; para ello, mueve $y - 1$ fuera del logaritmo.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Paso 2.9

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.9.1

Simplifica $(y - 1) \ln (2)$ .

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Paso 2.9.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Paso 2.9.1.2

Reescribe $- 1 \ln (2)$ como $- \ln (2)$ .

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Paso 2.10

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = 0$

Paso 2.11

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.11.1

Suma $\ln (2)$ a ambos lados de la ecuación.

$y \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = \ln (2)$

Paso 2.11.2

Suma $\ln (\frac{1}{x - 2})$ a ambos lados de la ecuación.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$

Paso 2.12

Divide cada término en $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ por $\ln (2)$ y simplifica.

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Paso 2.12.1

Divide cada término en $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ por $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Paso 2.12.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.12.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 2.12.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Paso 2.12.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Paso 2.12.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.12.3.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 2.12.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Paso 2.12.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$

Paso 4.2.3

Combina los términos opuestos en $1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$ .

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Paso 4.2.3.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 0})}{\ln (2)}$

Paso 4.2.3.2

Suma ${(\frac{1}{2})}^{x - 1}$ y $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1}})}{\ln (2)}$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.4.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1^{x - 1}}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

Paso 4.2.4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

Paso 4.2.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Paso 4.2.4.2.2

Multiplica $2^{x - 1}$ por $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Paso 4.2.4.3

Expande $\ln (2^{x - 1})$ ; para ello, mueve $x - 1$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Paso 4.2.4.4

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 4.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Paso 4.2.4.4.2

Divide $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + x - 1$

Paso 4.2.5

Combina los términos opuestos en $1 + x - 1$ .

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Paso 4.2.5.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x + 0$

Paso 4.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$

Paso 4.3.3

Combina los términos opuestos en ${(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$ .

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Paso 4.3.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{0 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

Paso 4.3.3.2

Suma $0$ y $\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

Paso 4.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

Paso 4.3.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

Paso 4.3.4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.4.3.1

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (\frac{1}{x - 2})}} + 2$

Paso 4.3.4.3.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

Paso 4.3.4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = 1 (x - 2) + 2$

Paso 4.3.4.5

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x - 2 + 2$

Paso 4.3.5

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 4.3.5.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x + 0$

Paso 4.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$