Álgebra Ejemplos

$\frac{20 x - 4 x^{2}}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \div \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{20 x - 4 x^{2}}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $4 x$ de $20 x - 4 x^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4 x$ de $20 x$ .

$\frac{4 x (5) - 4 x^{2}}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 2.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (5) + 4 x (- x)}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 2.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (5) + 4 x (- x)$ .

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 2.2

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2} + 2 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x) + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 2.2.2

Factoriza $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x) + 2 x (1)} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 2.2.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x) + 2 x (1)$ .

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{x^{2} - 10^{2}}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 10$ .

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $2$ de $4 x (5 - x)$ .

$\frac{2 (2 x (5 - x))}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x (x + 1)$ .

$\frac{2 (2 x (5 - x))}{2 (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x (5 - x))}{2 (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x (5 - x)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x (5 - x)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $x + 10$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 4.3.2

Divide $x - 10$ por $1$ .

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot (x - 10) \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{2 (5 - x)}{x + 1}$ por $x - 10$ .

$\frac{2 (5 - x) (x - 10)}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 (5 - x) (x - 10)}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{2 (5 - x) (x - 10)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 11 x + 10}$

Paso 6

Factoriza $x^{2} - 11 x + 10$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $- 11$ .

$- 10, - 1$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 (5 - x) (x - 10)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 10) (x - 1)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x - 10$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $x - 10$ de $2 (5 - x) (x - 10)$ .

$\frac{(x - 10) (2 (5 - x))}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 10) (x - 1)}$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 10) (2 (5 - x))}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 10) (x - 1)}$

Paso 7.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$2 (5 - x) \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 7.3

Combina $\frac{x - 1}{x - 1}$ y $2$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{x - 1} (5 - x)$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{x - 1} (5 - x)$

Paso 7.4.2

Divide $2$ por $1$ .

$2 (5 - x)$

Paso 7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 5 + 2 (- x)$

Paso 7.6

Multiplica.

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Paso 7.6.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 + 2 (- x)$

Paso 7.6.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$10 - 2 x$