Álgebra Ejemplos

$y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$

Paso 1

Divide cada término en $y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$ por $x^{2} - 4$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$ por $x^{2} - 4$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 4$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Paso 1.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{2} = \frac{x + 2}{x^{2} - 4}$

Paso 1.3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y^{2} = \frac{x + 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$y^{2} = \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.3.3.1

Cancela el factor común.

$y^{2} = \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \frac{1}{x - 2}$

Paso 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$

Paso 3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

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Paso 3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$

Paso 3.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ por $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$

Paso 3.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ por $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}}$

Paso 3.4.2

Eleva $\sqrt{x - 2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}}$

Paso 3.4.3

Eleva $\sqrt{x - 2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}}$

Paso 3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}}$

Paso 3.4.6

Reescribe ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ como $x - 2$ .

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Paso 3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}}$

Paso 3.4.6.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Paso 4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Paso 4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Paso 4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Paso 5

Establece el radicando en $\sqrt{x - 2}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x - 2 \geq 0$

Paso 6

Suma $2$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 2$

Paso 7

Establece el denominador en $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 8

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 2}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(2, \infty), {x | x > 2}$

Rango: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Paso 12