Álgebra Ejemplos

$1 = \cot^{2} (x) + \csc (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$ .

$\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$

Paso 2

Reemplaza $\cot^{2} (x)$ con $\csc^{2} (x) - 1$ según la identidad de $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + \csc (x) = 1$

Paso 3

Reordena el polinomio.

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 1 = 1$

Paso 4

Sustituye $u$ por $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} + u - 1 = 1$

Paso 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + u - 1 - 1 = 0$

Paso 6

Resta $1$ de $- 1$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Paso 7

Factoriza $u^{2} + u - 2$ con el método AC.

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Paso 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Paso 9

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 9.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 9.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 10

Establece $u + 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 10.1

Establece $u + 2$ igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Paso 10.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 2$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 1) (u + 2) = 0$ verdadera.

$u = 1, - 2$

Paso 12

Sustituye $\csc (x)$ por $u$ .

$\csc (x) = 1, - 2$

Paso 13

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 2$

Paso 14

Resuelve $x$ en $\csc (x) = 1$ .

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Paso 14.1

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (1)$

Paso 14.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.1

El valor exacto de $arccsc (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 14.3

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 14.4

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 14.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 14.4.2

Combina fracciones.

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Paso 14.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 14.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 14.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 14.4.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 14.4.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 14.5

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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Paso 14.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 14.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 14.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 14.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 14.6

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 15

Resuelve $x$ en $\csc (x) = - 2$ .

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Paso 15.1

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (- 2)$

Paso 15.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 15.2.1

El valor exacto de $arccsc (- 2)$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 15.3

La cosecante es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 15.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 15.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 15.4.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 15.5

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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Paso 15.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 15.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 15.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 15.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 15.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 15.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Paso 15.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 15.6.3

Combina fracciones.

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Paso 15.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 15.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 15.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 15.6.4.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Paso 15.6.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Paso 15.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 15.7

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 16

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 17

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$