Álgebra Ejemplos

$g (x) = \log_{3} (3 - 2 x)$

Paso 1

Escribe $g (x) = \log_{3} (3 - 2 x)$ como una ecuación.

$y = \log_{3} (3 - 2 x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \log_{3} (3 - 2 y)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\log_{3} (3 - 2 y) = x$ .

$\log_{3} (3 - 2 y) = x$

Paso 3.2

Reescribe $\log_{3} (3 - 2 y) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 3 - 2 y$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $3 - 2 y = 3^{x}$ .

$3 - 2 y = 3^{x}$

Paso 3.3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y = 3^{x} - 3$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 2 y = 3^{x} - 3$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 2 y = 3^{x} - 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{3^{x}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{3^{x}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3^{x}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Paso 3.3.3.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $g^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$g^{- 1} (x) = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5

Verifica si $g^{- 1} (x) = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$ es la inversa de $g (x) = \log_{3} (3 - 2 x)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $g^{- 1} (g (x)) = x$ y $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $g^{- 1} (g (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$g^{- 1} (g (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x))$ mediante la sustitución del valor de $g$ en $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = - \frac{3^{\log_{3} (3 - 2 x)}}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- 3^{\log_{3} (3 - 2 x)} + 3}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- (3 - 2 x) + 3}{2}$

Paso 5.2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 2 x) + 3}{2}$

Paso 5.2.4.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- 3 - (- 2 x) + 3}{2}$

Paso 5.2.4.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- 3 + 2 x + 3}{2}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $- 3 + 2 x + 3$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = x$

Paso 5.3

Evalúa $g (g^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$g (g^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2})$ mediante la sustitución del valor de $g^{- 1}$ en $g$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 - 2 (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}))$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 - 2 (- \frac{3^{x}}{2}) - 2 (\frac{3}{2}))$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3^{x}}{2}$ al numerador.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 - 2 \frac{- 3^{x}}{2} - 2 (\frac{3}{2}))$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 2 (- 1) (\frac{- 3^{x}}{2}) - 2 (\frac{3}{2}))$

Paso 5.3.3.2.3

Cancela el factor común.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 2 \cdot (- 1 \frac{- 3^{x}}{2}) - 2 (\frac{3}{2}))$

Paso 5.3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 - 1 (- 3^{x}) - 2 (\frac{3}{2}))$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 1 \cdot 3^{x} - 2 (\frac{3}{2}))$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $3^{x}$ por $1$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} - 2 (\frac{3}{2}))$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} + 2 (- 1) (\frac{3}{2}))$

Paso 5.3.3.5.2

Cancela el factor común.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} + 2 \cdot (- 1 (\frac{3}{2})))$

Paso 5.3.3.5.3

Reescribe la expresión.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} - 1 \cdot 3)$

Paso 5.3.3.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} - 3)$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $3 + 3^{x} - 3$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (0 + 3^{x})$

Paso 5.3.4.2

Suma $0$ y $3^{x}$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3^{x})$

Paso 5.3.5

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = x \log_{3} (3)$

Paso 5.3.6

El logaritmo en base $3$ de $3$ es $1$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = x \cdot 1$

Paso 5.3.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $g^{- 1} (g (x)) = x$ y $g (g^{- 1} (x)) = x$ , entonces $g^{- 1} (x) = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$ es la inversa de $g (x) = \log_{3} (3 - 2 x)$ .

$g^{- 1} (x) = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$