Álgebra Ejemplos

(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) {(3 z^{2} - 6)}^{- 1}

$(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) {(3 z^{2} - 6)}^{- 1}$

Paso 1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) \frac{1}{3 z^{2} - 6}

$(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) \frac{1}{3 z^{2} - 6}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Factoriza

3

$3$ de

3 z^{2} - 6

$3 z^{2} - 6$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza

3

$3$ de

3 z^{2}

$3 z^{2}$ .

(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) \frac{1}{3 (z^{2}) - 6}

$(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) \frac{1}{3 (z^{2}) - 6}$

Paso 2.1.2

Factoriza

3

$3$ de

- 6

$- 6$ .

(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) \frac{1}{3 z^{2} + 3 \cdot - 2}

$(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) \frac{1}{3 z^{2} + 3 \cdot - 2}$

Paso 2.1.3

Factoriza

3

$3$ de

3 z^{2} + 3 \cdot - 2

$3 z^{2} + 3 \cdot - 2$ .

(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) \frac{1}{3 (z^{2} - 2)}

$(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) \frac{1}{3 (z^{2} - 2)}$

(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) \frac{1}{3 (z^{2} - 2)}

$(6 z^{4} + 3 z^{2} - 9) \frac{1}{3 (z^{2} - 2)}$

Paso 2.2

Multiplica

6 z^{4} + 3 z^{2} - 9

$6 z^{4} + 3 z^{2} - 9$ por

\frac{1}{3 (z^{2} - 2)}

$\frac{1}{3 (z^{2} - 2)}$ .

\frac{6 z^{4} + 3 z^{2} - 9}{3 (z^{2} - 2)}

$\frac{6 z^{4} + 3 z^{2} - 9}{3 (z^{2} - 2)}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de

6 z^{4} + 3 z^{2} - 9

$6 z^{4} + 3 z^{2} - 9$ y

3

$3$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza

3

$3$ de

6 z^{4}

$6 z^{4}$ .

\frac{3 (2 z^{4}) + 3 z^{2} - 9}{3 (z^{2} - 2)}

$\frac{3 (2 z^{4}) + 3 z^{2} - 9}{3 (z^{2} - 2)}$

Paso 2.3.2

Factoriza

3

$3$ de

3 z^{2}

$3 z^{2}$ .

\frac{3 (2 z^{4}) + 3 (z^{2}) - 9}{3 (z^{2} - 2)}

$\frac{3 (2 z^{4}) + 3 (z^{2}) - 9}{3 (z^{2} - 2)}$

Paso 2.3.3

Factoriza

3

$3$ de

3 (2 z^{4}) + 3 (z^{2})

$3 (2 z^{4}) + 3 (z^{2})$ .

\frac{3 (2 z^{4} + z^{2}) - 9}{3 (z^{2} - 2)}

$\frac{3 (2 z^{4} + z^{2}) - 9}{3 (z^{2} - 2)}$

Paso 2.3.4

Factoriza

3

$3$ de

- 9

$- 9$ .

\frac{3 (2 z^{4} + z^{2}) + 3 \cdot - 3}{3 (z^{2} - 2)}

$\frac{3 (2 z^{4} + z^{2}) + 3 \cdot - 3}{3 (z^{2} - 2)}$

Paso 2.3.5

Factoriza

3

$3$ de

3 (2 z^{4} + z^{2}) + 3 (- 3)

$3 (2 z^{4} + z^{2}) + 3 (- 3)$ .

\frac{3 (2 z^{4} + z^{2} - 3)}{3 (z^{2} - 2)}

$\frac{3 (2 z^{4} + z^{2} - 3)}{3 (z^{2} - 2)}$

Paso 2.3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.1

Cancela el factor común.

\frac{3 (2 z^{4} + z^{2} - 3)}{3 (z^{2} - 2)}

$\frac{3 (2 z^{4} + z^{2} - 3)}{3 (z^{2} - 2)}$

Paso 2.3.6.2

Reescribe la expresión.

\frac{2 z^{4} + z^{2} - 3}{z^{2} - 2}

$\frac{2 z^{4} + z^{2} - 3}{z^{2} - 2}$

\frac{2 z^{4} + z^{2} - 3}{z^{2} - 2}

$\frac{2 z^{4} + z^{2} - 3}{z^{2} - 2}$

\frac{2 z^{4} + z^{2} - 3}{z^{2} - 2}

$\frac{2 z^{4} + z^{2} - 3}{z^{2} - 2}$

\frac{2 z^{4} + z^{2} - 3}{z^{2} - 2}

$\frac{2 z^{4} + z^{2} - 3}{z^{2} - 2}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe

z^{4}

$z^{4}$ como

{(z^{2})}^{2}

${(z^{2})}^{2}$ .

\frac{2 {(z^{2})}^{2} + z^{2} - 3}{z^{2} - 2}

$\frac{2 {(z^{2})}^{2} + z^{2} - 3}{z^{2} - 2}$

Paso 3.2

Sea

u = z^{2}

$u = z^{2}$ . Sustituye

u

$u$ por todos los casos de

z^{2}

$z^{2}$ .

\frac{2 u^{2} + u - 3}{z^{2} - 2}

$\frac{2 u^{2} + u - 3}{z^{2} - 2}$

Paso 3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.1

Para un polinomio de la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es

a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6

$a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es

b = 1

$b = 1$ .

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Paso 3.3.1.1

Multiplica por

1

$1$ .

\frac{2 u^{2} + 1 u - 3}{z^{2} - 2}

$\frac{2 u^{2} + 1 u - 3}{z^{2} - 2}$

Paso 3.3.1.2

Reescribe

1

$1$ como

- 2

$- 2$ más

3

$3$

\frac{2 u^{2} + (- 2 + 3) u - 3}{z^{2} - 2}

$\frac{2 u^{2} + (- 2 + 3) u - 3}{z^{2} - 2}$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{2 u^{2} - 2 u + 3 u - 3}{z^{2} - 2}

$\frac{2 u^{2} - 2 u + 3 u - 3}{z^{2} - 2}$

\frac{2 u^{2} - 2 u + 3 u - 3}{z^{2} - 2}

$\frac{2 u^{2} - 2 u + 3 u - 3}{z^{2} - 2}$

Paso 3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

\frac{(2 u^{2} - 2 u) + 3 u - 3}{z^{2} - 2}

$\frac{(2 u^{2} - 2 u) + 3 u - 3}{z^{2} - 2}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

\frac{2 u (u - 1) + 3 (u - 1)}{z^{2} - 2}

$\frac{2 u (u - 1) + 3 (u - 1)}{z^{2} - 2}$

\frac{2 u (u - 1) + 3 (u - 1)}{z^{2} - 2}

$\frac{2 u (u - 1) + 3 (u - 1)}{z^{2} - 2}$

Paso 3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor,

u - 1

$u - 1$ .

\frac{(u - 1) (2 u + 3)}{z^{2} - 2}

$\frac{(u - 1) (2 u + 3)}{z^{2} - 2}$

\frac{(u - 1) (2 u + 3)}{z^{2} - 2}

$\frac{(u - 1) (2 u + 3)}{z^{2} - 2}$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de

u

$u$ con

z^{2}

$z^{2}$ .

\frac{(z^{2} - 1) (2 z^{2} + 3)}{z^{2} - 2}

$\frac{(z^{2} - 1) (2 z^{2} + 3)}{z^{2} - 2}$

Paso 3.5

Reescribe

1

$1$ como

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{(z^{2} - 1^{2}) (2 z^{2} + 3)}{z^{2} - 2}

$\frac{(z^{2} - 1^{2}) (2 z^{2} + 3)}{z^{2} - 2}$

Paso 3.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde

a = z

$a = z$ y

b = 1

$b = 1$ .

\frac{(z + 1) (z - 1) (2 z^{2} + 3)}{z^{2} - 2}

$\frac{(z + 1) (z - 1) (2 z^{2} + 3)}{z^{2} - 2}$

\frac{(z + 1) (z - 1) (2 z^{2} + 3)}{z^{2} - 2}

$\frac{(z + 1) (z - 1) (2 z^{2} + 3)}{z^{2} - 2}$