Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}) = 2 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1})$ .

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Paso 3.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{2 y + 1}$ .

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2 y + 1} = 2 x$

Paso 3.4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 y + 1}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 3.5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 y + 1}$ como ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 3.5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 3.5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 y + 1)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica.

$2 y + 1 = {(2 x)}^{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica ${(2 x)}^{2}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$2 y + 1 = 2^{2} x^{2}$

Paso 3.5.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 y + 1 = 4 x^{2}$

Paso 3.6

Resuelve $y$

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Paso 3.6.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = 4 x^{2} - 1$

Paso 3.6.2

Divide cada término en $2 y = 4 x^{2} - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.1

Divide cada término en $2 y = 4 x^{2} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.6.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.2.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.6.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.6.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.6.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.6.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.6.2.3.1.1.2.4

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.6.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})}^{2} - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{\sqrt{2 x + 1}}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.3

Reescribe ${\sqrt{2 x + 1}}^{2}$ como $2 x + 1$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x + 1}$ como ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{4}) - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 (2)}) - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.5.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 \cdot 2}) - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

Paso 5.2.4.2

Combina los términos opuestos en $2 x + 1 - 1$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.2.4.2.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (2 x^{2} - \frac{1}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2} - \frac{1}{2}) + 1}$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

Paso 5.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

Paso 5.3.5.2

Cancela el factor común.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

Paso 5.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} - 1 + 1}$

Paso 5.3.6

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.3.6.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 0}$

Paso 5.3.6.2

Suma $4 x^{2}$ y $0$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2}}$

Paso 5.3.7

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(2 x)}^{2}}$

Paso 5.3.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Paso 5.3.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.9.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Paso 5.3.9.2

Cancela el factor común.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Paso 5.3.9.3

Reescribe la expresión.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$