Álgebra Ejemplos

$y = 2 \sin (- 3 θ - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 1

Usa la forma $a \sin (b x - c) + d$ para obtener las variables utilizadas para obtener la amplitud, el período, el desfase y el desplazamiento vertical.

$a = 2$

$b = - 3$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 2$

Paso 2

Obtén la amplitud $| a |$ .

Amplitud: $2$

Paso 3

Obtén el período con la fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Paso 3.1

Obtén el período de $2 \sin (- 3 x - \frac{π}{2})$ .

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Paso 3.1.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.1.2

Reemplaza $b$ con $- 3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| - 3 |}$

Paso 3.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 3$ y $0$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 3.2

Obtén el período de $2$ .

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Paso 3.2.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.2

Reemplaza $b$ con $- 3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| - 3 |}$

Paso 3.2.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 3$ y $0$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 3.3

El período de la suma/resta de las funciones trigonométricas es el máximo de los períodos individuales.

$\frac{2 π}{3}$

Paso 4

Obtén el desfase con la fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Paso 4.1

El desfase de la función puede calcularse a partir de $\frac{c}{b}$ .

Desfase: $\frac{c}{b}$

Paso 4.2

Reemplaza los valores de $c$ y $b$ en la ecuación para el desfase.

Desfase: $\frac{\frac{π}{2}}{- 3}$

Paso 4.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

Desfase: $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

Desfase: $\frac{π}{2} \cdot (- \frac{1}{3})$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{π}{2} (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

Desfase: $- \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

Desfase: $- \frac{π}{6}$

Paso 5

Enumera las propiedades de la función trigonométrica.

Amplitud: $2$

Período: $\frac{2 π}{3}$

Desfase: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ a la izquierda)

Desplazamiento vertical: $2$

Paso 6

Selecciona algunos puntos para la gráfica.

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Paso 6.1

Obtén el punto en $x = - \frac{π}{6}$ .

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Paso 6.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{π}{6}$ en la expresión.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (- 3 (- \frac{π}{6}) - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1.2.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{6}$ al numerador.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (- 3 \frac{- π}{6} - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.1.2.1.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (3 (- 1) (\frac{- π}{6}) - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.1.2.1.1.1.3

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{- π}{3 \cdot 2}) - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.1.2.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{- π}{3 \cdot 2}) - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.1.2.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (- 1 \frac{- π}{2} - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.1.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (- 1 (- \frac{π}{2}) - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.1.2.1.1.3

Multiplica $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

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Paso 6.1.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (1 (\frac{π}{2}) - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.1.2.1.1.3.2

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.1.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π - π}{2}) + 2$

Paso 6.1.2.1.3

Resta $π$ de $π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{0}{2}) + 2$

Paso 6.1.2.1.4

Divide $0$ por $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (0) + 2$

Paso 6.1.2.1.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cdot 0 + 2$

Paso 6.1.2.1.6

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 0 + 2$

Paso 6.1.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2$

Paso 6.1.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.2

Obtén el punto en $x = 0$ .

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Paso 6.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 2 \sin (- 3 \cdot 0 - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 2 \sin (0 - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.2.2.1.2

Resta $\frac{π}{2}$ de $0$ .

$f (0) = 2 \sin (- \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.2.2.1.3

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (0) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2$

Paso 6.2.2.1.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$f (0) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 2$

Paso 6.2.2.1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (0) = 2 (- 1 \cdot 1) + 2$

Paso 6.2.2.1.6

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 6.2.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (0) = 2 \cdot - 1 + 2$

Paso 6.2.2.1.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (0) = - 2 + 2$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (0) = 0$

Paso 6.2.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 6.3

Obtén el punto en $x = \frac{π}{6}$ .

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Paso 6.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (- 3 \frac{π}{6} - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (3 (- 1) (\frac{π}{6}) - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.3.2.1.1.1.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{π}{3 \cdot 2}) - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.3.2.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{π}{3 \cdot 2}) - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.3.2.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (- 1 \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.3.2.1.1.2

Reescribe $- 1 \frac{π}{2}$ como $- \frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (- \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.3.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{- π - π}{2}) + 2$

Paso 6.3.2.1.3

Resta $π$ de $- π$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{- 2 π}{2}) + 2$

Paso 6.3.2.1.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 6.3.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{2 (- π)}{2}) + 2$

Paso 6.3.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{2 (- π)}{2 (1)}) + 2$

Paso 6.3.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{2 (- π)}{2 \cdot 1}) + 2$

Paso 6.3.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{- π}{1}) + 2$

Paso 6.3.2.1.4.2.4

Divide $- π$ por $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (- π) + 2$

Paso 6.3.2.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (0) + 2$

Paso 6.3.2.1.6

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot 0 + 2$

Paso 6.3.2.1.7

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = 0 + 2$

Paso 6.3.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2$

Paso 6.3.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.4

Obtén el punto en $x = \frac{π}{3}$ .

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Paso 6.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (- 3 \frac{π}{3} - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.2.1.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (3 (- 1) (\frac{π}{3}) - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.4.2.1.1.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{π}{3}) - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.4.2.1.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (- 1 π - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.4.2.1.1.2

Reescribe $- 1 π$ como $- π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (- π - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.4.2.1.2

Para escribir $- π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (- π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.4.2.1.3

Combina $- π$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (\frac{- π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (\frac{- π \cdot 2 - π}{2}) + 2$

Paso 6.4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.1.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (\frac{- 2 π - π}{2}) + 2$

Paso 6.4.2.1.5.2

Resta $π$ de $- 2 π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (\frac{- 3 π}{2}) + 2$

Paso 6.4.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (- \frac{(3) π}{2}) + 2$

Paso 6.4.2.1.7

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.4.2.1.8

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cdot 1 + 2$

Paso 6.4.2.1.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 + 2$

Paso 6.4.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 4$

Paso 6.4.2.3

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 6.5

Obtén el punto en $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 6.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (- 3 \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.1.1.1

Combina $- 3$ y $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{- 3 π}{2} - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.5.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (- \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}) + 2$

Paso 6.5.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{- 3 π - π}{2}) + 2$

Paso 6.5.2.1.3

Resta $π$ de $- 3 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{- 4 π}{2}) + 2$

Paso 6.5.2.1.4

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 6.5.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 4 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2}) + 2$

Paso 6.5.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2 (1)}) + 2$

Paso 6.5.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2 \cdot 1}) + 2$

Paso 6.5.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{- 2 π}{1}) + 2$

Paso 6.5.2.1.4.2.4

Divide $- 2 π$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (- 2 π) + 2$

Paso 6.5.2.1.5

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (0) + 2$

Paso 6.5.2.1.6

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0 + 2$

Paso 6.5.2.1.7

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 + 2$

Paso 6.5.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Paso 6.5.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.6

Enumera los puntos en una tabla.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & 2 \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{6} & 2 \\ \frac{π}{3} & 4 \\ \frac{π}{2} & 2 \end{array}$

Paso 7

La función trigonométrica puede representarse de forma gráfica con la amplitud, el período, el desfase, el desplazamiento vertical y los puntos.

Amplitud: $2$

Período: $\frac{2 π}{3}$

Desfase: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ a la izquierda)

Desplazamiento vertical: $2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & 2 \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{6} & 2 \\ \frac{π}{3} & 4 \\ \frac{π}{2} & 2 \end{array}$

Paso 8