Álgebra Ejemplos

$\frac{- 9 x}{x^{2} - 8 x} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \div \frac{x + 7}{x^{2} - 15 x + 56}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{- 9 x}{x^{2} - 8 x} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 2

Factoriza $x$ de $x^{2} - 8 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 9 x}{x \cdot x - 8 x} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $- 8 x$ .

$\frac{- 9 x}{x \cdot x + x \cdot - 8} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 8$ .

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Factoriza $9 x$ de $9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $9 x$ de $9 x^{3}$ .

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2}) + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 3.1.2

Factoriza $9 x$ de $36 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2}) + 9 x (4 x) - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 3.1.3

Factoriza $9 x$ de $- 189 x$ .

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2}) + 9 x (4 x) + 9 x (- 21)}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 3.1.4

Factoriza $9 x$ de $9 x (x^{2}) + 9 x (4 x)$ .

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2} + 4 x) + 9 x (- 21)}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 3.1.5

Factoriza $9 x$ de $9 x (x^{2} + 4 x) + 9 x (- 21)$ .

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2} + 4 x - 21)}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2} + 4 x - 21$ con el método AC.

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Paso 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 21$ y cuya suma es $4$ .

$- 3, 7$

Paso 3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x ((x - 3) (x + 7))}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x - 3) (x + 7)}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} - 10 x + 21$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $21$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 7, - 3$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x - 3) (x + 7)}{(x - 7) (x - 3)} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x$ de $9 x (x - 3) (x + 7)$ .

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{x ((9 (x - 3)) (x + 7))}{(x - 7) (x - 3)} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{x ((9 (x - 3)) (x + 7))}{(x - 7) (x - 3)} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 9 x}{x - 8} \cdot \frac{(9 (x - 3)) (x + 7)}{(x - 7) (x - 3)} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{- 9 x}{x - 8}$ por $\frac{(9 (x - 3)) (x + 7)}{(x - 7) (x - 3)}$ .

$\frac{- 9 x ((9 (x - 3)) (x + 7))}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} \cdot \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 5.3

Multiplica $9$ por $- 9$ .

$\frac{- 81 x ((x - 3) (x + 7))}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} \cdot \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $x + 7$ de $- 81 x ((x - 3) (x + 7))$ .

$\frac{(x + 7) (- 81 x (x - 3))}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} \cdot \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 7) (- 81 x (x - 3))}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} \cdot \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 81 x (x - 3)}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} (x^{2} - 15 x + 56)$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 5.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 81 x (x - 3)}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} (x^{2} - 15 x + 56)$

Paso 5.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 81 x}{(x - 8) (x - 7)} (x^{2} - 15 x + 56)$

Paso 5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (x^{2} - 15 x + 56)$

Paso 5.7

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} x^{2} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} x^{2}$ .

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Paso 6.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)}$ .

$- \frac{x^{2} (81 x)}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Paso 6.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.2.1

Mueve $x$ .

$- \frac{x \cdot x^{2} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{2} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Paso 6.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{x^{1 + 2} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Paso 6.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Paso 6.2

Multiplica $- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x)$ .

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 15$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + 15 \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} x - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Paso 6.2.2

Combina $15$ y $\frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{15 (81 x)}{(x - 8) (x - 7)} x - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Paso 6.2.3

Multiplica $81$ por $15$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x}{(x - 8) (x - 7)} x - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Paso 6.2.4

Combina $\frac{1215 x}{(x - 8) (x - 7)}$ y $x$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x \cdot x}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Paso 6.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 (x^{1} x)}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Paso 6.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 (x^{1} x^{1})}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Paso 6.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{1 + 1}}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Paso 6.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Paso 6.3

Multiplica $- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica $56$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} - 56 \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 6.3.2

Combina $- 56$ y $\frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{- 56 (81 x)}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 6.3.3

Multiplica $81$ por $- 56$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{- 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Mueve $81$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$- \frac{81 \cdot x^{3}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{- 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{81 x^{3}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 81 x^{3} + 1215 x^{2} - 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Factoriza $81 x$ de $- 81 x^{3} + 1215 x^{2} - 4536 x$ .

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Paso 9.1.1

Factoriza $81 x$ de $- 81 x^{3}$ .

$\frac{81 x (- x^{2}) + 1215 x^{2} - 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 9.1.2

Factoriza $81 x$ de $1215 x^{2}$ .

$\frac{81 x (- x^{2}) + 81 x (15 x) - 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 9.1.3

Factoriza $81 x$ de $- 4536 x$ .

$\frac{81 x (- x^{2}) + 81 x (15 x) + 81 x (- 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 9.1.4

Factoriza $81 x$ de $81 x (- x^{2}) + 81 x (15 x)$ .

$\frac{81 x (- x^{2} + 15 x) + 81 x (- 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 9.1.5

Factoriza $81 x$ de $81 x (- x^{2} + 15 x) + 81 x (- 56)$ .

$\frac{81 x (- x^{2} + 15 x - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 9.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 9.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 56 = 56$ y cuya suma es $b = 15$ .

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Paso 9.2.1.1

Factoriza $15$ de $15 x$ .

$\frac{81 x (- x^{2} + 15 (x) - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 9.2.1.2

Reescribe $15$ como $7$ más $8$

$\frac{81 x (- x^{2} + (7 + 8) x - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 9.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{81 x (- x^{2} + 7 x + 8 x - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 9.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 9.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{81 x ((- x^{2} + 7 x) + 8 x - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 9.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{81 x (x (- x + 7) - 8 (- x + 7))}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 9.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 7$ .

$\frac{81 x ((- x + 7) (x - 8))}{(x - 8) (x - 7)}$

$\frac{81 x (- x + 7) (x - 8)}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 10

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $x - 8$ .

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Paso 10.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{81 x (- x + 7) (x - 8)}{(x - 8) (x - 7)}$

Paso 10.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{81 x (- x + 7)}{x - 7}$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $- x + 7$ y $x - 7$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{81 x (- (x) + 7)}{x - 7}$

Paso 10.2.2

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$\frac{81 x (- (x) - 1 (- 7))}{x - 7}$

Paso 10.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{81 x (- (x - 7))}{x - 7}$

Paso 10.2.4

Reescribe $- (x - 7)$ como $- 1 (x - 7)$ .

$\frac{81 x (- 1 (x - 7))}{x - 7}$

Paso 10.2.5

Cancela el factor común.

$\frac{81 x (- 1 (x - 7))}{x - 7}$

Paso 10.2.6

Divide $81 x \cdot (- 1)$ por $1$ .

$81 x \cdot (- 1)$

Paso 10.3

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$- 81 x$